Математика, решение онлайн!!!

Январь 2010

И так, сегодня мы рассмотрим такую замечательную геометрическую фигуру, как треугольник. Более подробно остановимся на нахождении площади треугольника.

Я выделил семь основных способов нахождения площади треугольника. Рассмотрим их более подробно.

1. Если нам дано любую сторону треугольника и высоту, опущенную на эту сторону, тогда мы просто подставляем эти значения в формулу $S=\frac12 bh$.
2. Если мы имеем длину двух сторон треугольника $a, b$ и величину угла $\gamma$ между ними, тогда мы используем формулу$S=\frac12ab\sin\gamma$.
3. А если в задаче дано все три стороны треугольника $a, b, c$, то чтобы найти его площадь нам понадобится формула Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p=\frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.
4. Есть ещё такие формулы, которые связанные с площадью треугольника, где фигурируют радиусы описанных и вписанных окружностей. Но основные из них нас не интересуют, потому что там надо иметь три стороны треугольника, а если они есть, то площадь треугольника можно найти и по формуле Герона, тогда нам не нужны никакие радиусы (они используются в тех случаях, когда надо найти радиус окрузности). Но если у нас есть только углы треугольника $\alpha, \beta, \gamma$ и радиус $R$ описанной окружности, тогда нам здорово поможет формула $R=\frac{a}{2\sin\alpha}=\frac{b}{2\sin\beta}=\frac{c}{2\sin\gamma}$, по которой можно легко определить и стороны треугольника, а потом найти и его площадь.
5. Интересный случай, когда у нас есть только координаты вершин треугольника на плоскости. Здесь, конечно, можно найти длину каждой стороны (или величину угла) и потом вычислить площадь треугольника. Но проще будет вариант, просто записать определитель размерности три, где в каждой строке первые два элемента – это координаты одной вершина, а третий единица. Тогда половина от абсолютной величины этого определителя и будет площадь данного треугольника.
6. Не менее интересным есть и пространственный случай той же задачи. Чтобы её решить, нам сначала надо найти координаты двух сторон (векторов) треугольника, которые выходят из одной вершины. А потом, вычислить половину абсолютной величины векторного произведения этих сторон.
7. И, наконец, последний случай такой же, как и предыдущий, только если координаты векторов уже даны, их не надо искать. Для вычисления площади треугольника, который лежит на них, просто надо найти половину абсолютной величины векторного произведения.

Всё это вы легко можете проверить на этой странице!
Есть вопросы? Пишите в комментариях!

Всем привет!

И так, когда мы рисуем график функции, а лучше двух функций, и нам по этому рисунку надо определить точку их пересечения. Что мы делаем? Если это на компьютере, мы рисуем графики, смотрим приблизительно, где они пересекаются, а потом соответственно уменьшаем пределы рисования, чтобы увеличить саму точку пересечения. И увидеть точнее, где она находится. А если это вручную, то лучше сначала высчитать математически точку пересечения, чтобы потом перерисовывать не пришлось!

Но с помощью моей новой программы «Построение графиков функций онлайн» этого уже делать не придется! Вы просто задаёте функцию и пределы рисования, нажимаете на кнопку "Нарисовать график", а потом выделяете, ту часть графика, которую надо увеличить, и через несколько секунд она увеличена!

Это очень удобно и легко! Для того чтобы вернутся назад у вас есть дополнительное окно с графиком и на нём вы также можете выделять ту часть графика которая вам нужна и она появится в большом окне. Ещё для того чтобы вы не попутали графики (бывает, что они могут быть очень похожи), они рисуются разными цветами и под маленьким окном указано какая функция какого цвета.

Также есть один недостаток этой программы, она не учитывает точек разрыва функций. Поэтому я рекомендую вычислять их вручную и потом этот график разбивать на меньшие, если конечно, в этом есть необходимость. Но, думаю, со временем мы этот глюк уберём!

Так что пользуйтесь, рисуйте, высчитывайте и наслаждайтесь!
У кого есть какие мысли – пишите в комментариях!

Когда я думал над тем, о чём ещё написать, то решил посмотреть, какая тема для вас (моих читателей) самая востребованная!? Что вы больше всего смотрите на моём сайте и как я могу там ёще что-то улучшить?

Вот я посмотрел, какие из моих видеоуроков самые популярные. И одним из них оказался урок о нахождении обратной матрицы. И я подумал, почему бы мне не сделать мини-курс на эту тему, где всё более подробно расписано, на конкретных примерах с рассмотренными разными нюансами. А то много бывает подводных камней!

Мини-курс сделан! В нём немного больше, чем 1 час видео! После просмотра этого мини-курса вы также узнаете:

• Что такое миноры и алгебраические дополнения;
• Как найти определитель матрицы любой размерности;
• Как преобразовать матрицу к треугольной;
• И, конечно, как найти обратную матрицу причём, двумя способами;
• И это всё в видеоформате, на конкретных примерах, и с полным обьяснением!

А, главное, вы сможете получить эти уроки совершенно БЕСПЛАТНО!!!

Вам просто надо перейти по этой ссылке, и там подписатся на мою рассылку! И уже через несколько минут на свой почтовый ящик вы получите ссылки на первые три видеоуроки, а на следующий день и остальные два. Рекомендую вам всё тщательно посмотреть, разобрать каждый пример и сделать домашнее задание, только тогда результат будет наилучшим!

Не забывайте, что это видео навсегда останется у вас на компьютере, и в любой момент вы ещё не однократно сможете его пересмотреть, если будут какие-то трудности!

Если у вас возникли какие-то вопросы, или что-то не выходит, то пишите в комментариях, все вопросы решим!

Итак, я сегодня решил рассказать о методах решения определителей матриц, на мой взгляд, их есть три:

• по формулах;
• с помощью алгебраических дополнений, то есть разложение за строкой или столбцом определителя;
• при преобразовании матрицы к треугольной.

Рассмотрим каждый из методов более подробно.
Первый метод. Поскольку формулы есть только для квадратной и кубической матрицы, то естественно этого мало.
$\left | \begin {array} {cc}<br /> a_{11} & a_{12} \\<br /> a_{21} & a_{22}<br /> \end {array} \right |=a_{11}*a_{22}-a_{21}*a_{12}.$

$\left | \begin {array} {ccc}<br /> a_{11} & a_{12}& a_{13} \\<br /> a_{21} & a_{22} & a_{23}\\<br /> a_{31}& a_{32}& a_{33}<br /> \end {array} \right |=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{21}*a_{32}*a_{13}-a_{13}*a_{22}*a_{31}-a_{21}*a_{12}*a_{33}-a_{23}*a_{32}*a_{11}.$
Мы их сможем использовать только для кубической и квадратной матрицы, но это нам очень поможет в дальнейшем!

Второй метод. Конечно, если у нас размерность матрицы выше трёх, то формулы нам не помогут. Здесь надо понижать размерность, то есть раскладывать матрицу за элементами строки или столбца с помощью алгебраических дополнений. И делать это до того момента, когда размерность конечных миноров не станет три (в этом случае мы сможем использовать формулы для нахождения определителя кубической матрицы).

Третий метод. Кажется, очень просто преобразовать матрицу к треугольной и потом, чтобы вычислить определитель нужно перемножить все элементы, что стоят на главной диагонали! Но это ещё не всё, здесь надо не забывать о свойствах определителя! Когда для перехода к треугольной матрицы мы умножали какую-то строку на число, то в конце надо поделить на то число наше произведение, а также если мы перестанавливали местами строки, то надо менять знак определителя! Если всё осторожно и без ошибок подсчитать, то результат будет правильным!

И напоследок, какой же метод лучше: второй или третий? Конечно второй будет проще, а ещё если матрица не слишком большая или имеет много нулей, или их без проблем можно сделать на одном столбце или строке, то тогда, конечно второй! Ну, а для любителей описан и третий метод, но надо быть очень осторожным, чтобы ничего не упустить! Этот метод применяют, только в исключительных примерах!
И что бы результат был правильный наверняка, то проверяйте свои результаты с помощью решений онлайн!

Видео о том, как с помощью формулы интегрирования по частям решать интегралы вида: $\int e^{ax} \cos(bx)dx$! Здесь всё просто описано, но если вы не смотрели моё превыдущее видео о интегрировании по частям, то рекомендую его посмотреть!
Также с помощью этого метода, можна решать интегралы вида:

• $\int e^{ax} \sin(bx)dx$;
• $\int e^{ax} \cos^n(bx)dx$;
• $\int e^{ax} \sin^n(bx)dx$.

Смотрите и комментируйте!

Сайт Formula.co.ua посвящен элементарной математике, то есть математике, которая преподается в школе. Ведется на украинском языке. Материал с сайта пригодится не только ученикам и учителям, но и тем, кто желает восстановить знания по математике в объеме программы средней школы.

Кроме определений, описаний математических понятий, правил и теорем на сайте вы найдете немало полезного для себя.

На сайте размещены сборники примеров с решениями типичных задач, которые оформлены в PDF-формате. Данный формат удобно читать и при необходимости легко распечатать. (К сожалению, пока не ко всем разделам есть такие сборники примеров, но со временем база решенных примеров будет наращиваться).

Главной особенностью данного сайта является он-лайн решатели для решения задач (например,  решение квадратного уравнения, нахождение гипотенузы и катетов прямоугольного треугольника и т.п.). Они позволяют без лишних усилий, просто введя известные параметры, одним нажатием кнопки вычислить искомое значение.

Сухую теорию на сайте дополняют математические факты, былины из жизни математиков, интересные высказывания. Есть также каталог качественных математических рефератов. Их не так уж много, но все же.

Чтобы посетителям не приходилось скучать, на сайт добавлено логические флеш игры, детские шутки, для любителей поломать голову над каверзными задачками есть головоломки.

Прочитать остальную часть записи »