Математика, решение онлайн!!!

Октябрь 2010

Я уже рассказывал о том, как делать разные операции с комплексными числами в арифметической форме, а теперь решил ещё зацепить и тригонометрическую. Ведь некоторые операции с комплексными числами делать намного проще именно в тригонометрической форме. Это показано на конкретном примере.

Сразу хочу сказать, что комплексные числа в тригонометрической форме выглядят именно так:

z = |z| ( cos (λ) + i sin(λ)).

И на этом текстовом примере вы узнаете:

• Как переходить от арифметической формы комплексного числа до тригонометрической и наоборот. Там есть конкретный пример и все необходимые формулы.
• Как находить модуль и аргумент комплексного числа.
• И как добывать корень с комплексного числа.

Также в комплексной форме очень удобно умножать и делить комплексные числа. Для этого вам надо соответственно перемножить или поделить их модули и сложить или вычесть их аргументы.

Ещё хочу добавить, что для лучшего понимания процесса нахождения корней комплексного числа полезно изображать их на окружности. Где радиус окружности – это модуль комплексного числа, а угол поворота – это аргумент комплексного числа. При повороте на каждый угол и отмечать точки на окружности – эти точки и будут соответствующими корнями данного комплексного числа.
Прочитать остальную часть записи »

Ну вот, мы уже рассмотрели, что такое смешанное, векторное и скалярное произведение векторов. На каждую из этих есть соответствующая онлайн программка и краткое пояснение материала, но я решил показать конкретный пример задачи, на котором надо использовать все эти знания одновременно и даже больше.

Думаю, этот пример будет полезен всем, кто проходит тему векторов. В нём собрано практически все основные действия с векторами, и всё это показано на конкретных цифрах и со всеми необходимыми формулами – это как итог всего пройденного материала. На этом примере мы можете узнать ответы на такие вопросы:

• Как надо складывать и вычитать векторы?
• Как найти длину вектора?
• Как вычислить скалярное произведение векторов через координаты в ортонормированном базисе?
• Как высчитать косинус угла между векторами?
• Как надо находить косинус угла между плоскостями?
• Как вычислить координаты перпендикулярного вектора к плоскости?
• Как находить площадь параллелограмма с помощью векторного произведения векторов?
• Как найти объём параллелепипеда, используя смешанное произведение векторов?
• Как посчитать высоту параллелепипеда?
• И даже как вычислить определитель третьего порядка?

Также хочу добавить, основываясь на методы, что есть в данном примере можно решать и много других похожих задач. Ну, например, здесь показано, как найти площадь параллелограмма построенного на векторах (с помощью векторного произведения), но точно также можно найти площадь треугольника построенного на двух векторах, только её надо ещё разделить на два; или аналогично объёму параллелепипеда (с помощью смешанного произведения) можно находить объем треугольной пирамиды, построенной на тех же векторах, только в этом случае результат нужно делить на шесть.
Прочитать остальную часть записи »

Я уже рассказывал о скалярном и о векторном произведении векторов. Ну и как следствие, сегодня я просто должен говорить о смешанном произведении векторов. Потому что последнее строится на понятии двоих первых, и оно также имеет немалый вес в математики, и часто используется при решении задач. Так что если вам надо будет найти смешанное произведение векторов, то вы можете сделать это онлайн с помощью моей новой программки.

Ну, а теперь немножко, в общем, о смешанном произведении векторов и более подробно о самой программке.

Смешанное произведение трёх векторов – это число, что равно скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий. То есть, если вам надо найти смешанное произведение трёх векторов a, b, c, то вам сначала надо найти векторное произведение двух первых a на b, а потом результат скалярно помножить на вектор c. В зависимости от того, какой репер будут создавать эти векторы: правый или левый, то соответственно число смешанного произведения может быть положительным или отрицательным. Если эти векторы компланарные (лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение будет равно нулю – это свойство часто используется для проверки компланатности векторов.

Также очень интересным есть то, что модуль величины смешанного произведения трёх векторов равный объёму параллелепипеда построенного на этих векторах. То есть таким образом можно вычислять объёмы многих геометрических фигур. А если векторы заданны в ортонормированном базисе, то это вообще будет определитель, который будет состоять из координат этих векторов, только взят по модулю.
Прочитать остальную часть записи »

Сегодня продолжим тему интересных исторических фактов в математике и более подробно остановимся на числе Пи и разными историями, что с ним связаны. Сразу хочу сказать, что это очень загадочное число и на нём основано много разных математических понятий, с ним часто связывают разные мистические события, даже фильм о нём есть.

Начнём, с определения: «Число Пи – это математическая константа, через которую выражается отношение длины окружности к её диаметру. И это число приблизительно равно 3,14.». Одним из первых заметил и высчитал такую интересную зависимость между длиной окружности и её диаметром Архимед, он и дал первое приближение такого числа, что равно $3 \frac{1}{7}$. И даже вычислил, что это число больше за $3 \frac{10}{71}$, но меньше за $3 \frac{1}{7}$. Но есть данные, что и за почти 2 тысячи лет до н.э. людям было известно об такой зависимости, только они её высчитывали очень приблизительно. А обозначил это число греческой буквой $\pi$ первым британский математик Джонс в 1706 году, и общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Число Пи используется не только в геометрии, математическом анализе или теории вероятности, но и во многих других отраслях науки, говорят, что учёные пытаются расшифровать человеческое ДНК с помощью этого магического числа. И даже есть много трагических историй, которые связаны с этим магическим числом. Говорят, что многие учёные разговаривали с этим числом, и говорили, что оно может думать. Но эта информация не подтверждена.

Ещё есть много разных историй связанных с запоминанием числа Пи. Многие используют разные стишки, вот например:

Кто и шутя, и скоро пожелаетъ
"Пи" узнать - число ужъ знаетъ.
Здесь число букв в каждом слове – это следующая цифра числа Пи.
Или такое:
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим -
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь.
А мировой рекорд по запоминанию числа Пи у китайца Лю Чао, который сумел запомнить 67 890 знаков после запятой без ошибки и воспроизвёл их в течении 24 часов и 4 минут. Не знаю какой он там стих придумал . Сейчас с помощью компьютера высчитали 5 триллионов цифр после запятой, так что есть куда расти .
Прочитать остальную часть записи »

Не менее полезное и широко используемое в геометрии, чем скалярное произведение векторов есть векторное произведение. Так что, и на эту тему я решил написать небольшую онлайн программку, которая будет вам помогать с вычислениями и в понимании формул.

Также хочу вам немножко рассказать, что такое векторное произведение и где оно используется? Векторным произведением двух векторов, является вектор, длина которого равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними, также этот вектор должен быть перпендикулярен к плоскости, в которой лежат два других вектора, и все они должны образовывать правый репер. То есть тройка векторов {a, b, c} будет правой, если посмотреть с конца вектора c на плоскость векторов a и b, то движение от a к b по меньшему углу должна происходить против часовой стрелки.

Очень интересны и геометрические свойства векторного произведения:

• Первое сформулируем теоремой:
  

  Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними ноль, то есть когда эти векторы коллинеарные.

  Основываясь на эту теорему, и доводят, что векторы или прямые коллинеарные.

• Второе – это то, что длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Именно это часто используют для вычисления площади параллелограмма, треугольника и некоторых других геометрических фигур.

Сама программа вычисляет двумя способами длину векторного произведения, в первом случае по определению, а во втором для ортонормированного базиса. В последнем, она также находит и координаты вектора векторного произведения. Как всегда, выводятся все формулы и матрицы с пошаговыми шагами решения. Вам надо только выбрать подходящий для вас вариант и ввести данные вашей задачи и через секунду перед вами полное решение.
Прочитать остальную часть записи »

За последнее время ко мне поступает не мало вопросов по Аналитической геометрии, поэтому я решил немножко зацепить эту тему и упростить для вас решения задач по этому предмету. И одни из основных понятий здесь именно скалярное произведение векторов, поэтому для его использования и вычисления я сделал онлайн программу.

Сначала, немножко напомню вам о главных понятиях. Скалярное произведение векторов – это число, которое равно произведению длины векторов на косинус угла между ними. На этом понятии основываются много разных других понятий, которые широко используются в математике. Вот, например, есть теорема:

«Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, то есть когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны)».

На основе этой теоремы и проверяют ортогональность векторов, прямых, плоскостей.

Также с помощью определения скалярного произведения находят угол между векторами или прямыми в ортонормированном базисе. Потому что в этом базисе скалярное произведение можно найти, просто сложив произведения соответствующих координат и также легко найти длину векторов, если есть их координаты.

Думаю, вы поняли, что эта программа может находить, не только скалярное произведение векторов двумя способами, но косинус угла между векторами, если они заданы координатами в ортонормированном базисе. Вам просто надо перейти на страницу программы, выбрать там подходящий для вас вариант, ввести свои данные и нажать кнопку «Решить». После чего перед вами будет подробное решение со всеми формулами и вычислениями.
Прочитать остальную часть записи »

Вижу, что как бы я не старался расхваливать видео формат, но вы всё равно больше предпочитаете текстовый, поэтому хочу вас сегодня в очередной раз порадовать. Добавлен ещё один текстовый пример, и его я выбрал ещё с одной математической науки, которая сейчас очень интенсивно развивается – это теория вероятностей.

У меня по этой тебе есть онлайн программка для дискретных величин и видеоурок для непрерывных величин, а сегодня будет ещё текстовый пример для двумерной непрерывной случайной величины. Что же вы сможете взять для себя с этого примера?

• Во-первых, это много разных формул с применением на практике для вычисления:
  • математического ожидания;
  • дисперсии;
  • ковариации;
  • корреляции;
  • среднего квадратического отклонения;
  • некоторых дополнительных значений, что используются на промежуточных этапах;
  • и написания ковариационной матрицы.
• Во-вторых, это схема решения подобных задач и нахождения выше указанных величин для двумерной непрерывной случайной величины.
• В-третьих, это несколько хороших примеров по вычислению двойных интегралов, с комментарием, как это нужно делать.

Прочитать остальную часть записи »

Я уже давал, небольшую инструкцию по решению неоднородных дифференциальных уравнений и также текстовый пример. Но для любителей видео я решил добавить и видео пример. Хотя большинство предпочитает текстовые, но я думаю, что видео – это более понятно и эффективнее.

Даже те, кто уже смотрели текстовый пример, я рекомендовал бы посмотреть и видео (в любом случае вы получите, только дополнительные знания, которые в дальнейшем вам очень помогут):

• Во-первых, там рассмотренные разные упражнения, по одной теме, то есть суть одна, но сам ход решения немножко отличается, что в дальнейшем даст вам возможность расширить количество решаемых упражнений. Вот основные отличия:
  1. В этом упражнении нет экспоненты;
  2. Также тригонометрическая функция задана не так, как надо, для продолжения решения её надо преобразовать;
  3. Больше неизвестных, чем в текстовом;
• Во-вторых, в видео у меня ещё была возможность немножко остановиться и на решении однородного ДР, а именно, написании ответа после нахождения корней характеристического уравнения;
• В-третьих, это же видео формат, здесь все более наглядно и понятно, есть возможность рассказать о каждой детали. А если что-то более сложное, то можно основные шаги дорисовать схематически.

Прочитать остальную часть записи »