Математика, решение онлайн!!!

Ноябрь 2010

Мы уже рассмотрели примеры, в каких вычисляются экстремумы функции и асимптоты до графика, а также правила нахождения области определения функции, сегодня ещё несколько примеров на тему промежутки выпуклости и точки перегиба. Я описал решения нескольких не больших упражнения для разных ситуаций.

Для начала рассмотрим определение:

График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вверх) на промежутке (a; b), если на этом промежутке график функции располагается ниже (или выше, соответственно) касательных, проведенных в любой точке этого промежутка (a; b). За исключением самой точки касания.
А точки, в которых меняется направление выпуклости, называются точками перегиба.

Теперь мы знаем, что это такое осталось узнать, как это всё находить, и в этом нам поможет следующая теорема:

Если на промежутке (a; b) функция y=f(x) дважды дифференцируемая, то в случае f”(x)>0 график функции выпуклый вниз, а если f”(x)<0, то он выпуклый вверх.

И, соответственно, точки, в которых знак второй производной меняется с плюса на минус, и будут точками перегиба.

Что бы лучше понять эти теоремы и определения, я рекомендую вам посмотреть данные примеры по этим темам. Там всё расписано шаг за шагом для разных упражнений и показано, как лучше находить промежутки выпуклости и точки перегиба.

При решении этих упражнений надо уметь находить производную второго порядка, там показано несколько вариантов решения, но для лучшего понимания рекомендую посмотреть этот видео-урок.
Прочитать остальную часть записи »

Раздел геометрии – стереометрия изучает разные фигуры в пространстве, их характеристики и формулы для вычисления объёмов и площади поверхности. Там много разных полезных формул, что используются на практике и в решении разных математических упражнений. Именно поэтому я решил сделать отдельную страницу, на сайте на которой будут основные формулы по этой теме.

Стереометрия – это раздел геометрии, который не очень любят школьники та и для учителей – эту тему немножко сложнее объяснить. Фигуры, что там изучаются, не нарисуешь на доске и не покажешь всё в деталях, здесь надо включать своё воображение, только оно сможет рассказать об этом нагляднее, ну или специальные уже заготовленные фигуры. Также это можно сделать с помощью современных компьютерных программ. Для лучшего понимания можно посмотреть видео, оно облегчает понимание пространства с большим количеством измерений.

Также в пространстве и формулы идут на порядок сложнее, поэтому я их все выписал с небольшим объяснением всех обозначений. На странице рассмотрены формулы для таких разных видов основных фигур:

• Призмы;
• Пирамиды;
• Цилиндры;
• Конусы;
• Шары.

Прочитать остальную часть записи »

При решении разных задач часто нужно знать максимальное или минимальное значение функции на промежутке. И одной из таких задач есть задача построения графика функции. Мы уже знаем, как найти асимптоты графика, а сегодня разберём, как искать максимумы и минимумы. Это также очень помогает при построении графика функции. Я подготовил для вас несколько текстовых примеров решения такой задачи.

Для начала разберём сами понятия: максимальное значение функции на промежутке – это означает, что на том промежутке все остальные значения функции, что расположены слева и справа от этой точки, будут меньше, а минимальное соответственно, что они будут больше. Такие точки ещё называют точками экстремуму.

Алгоритм нахождения экстремумов не сложный:

• Для начала надо взять производную от данной функции;
• Потому прировнять эту производную к нулю;
• Найти значение переменной, при каких производная преобразуется в ноль;
• Разбить этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом ещё надо не забыть о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум;
• И вычислить на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной.

Потом анализируем полученную информацию. И из точёк подозрительных на экстремум надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой, если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется из плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если из минуса на плюс, то соответственно – минимумом.

Есть и другой вариант, когда берут ещё и вторую производную. Тогда точка, в какой первая производная равна нулю, а вторая больше ноля, будет минимумом, а если в точке первая производная равна нолю, а вторая меньше ноля, то эта точка будет максимумом.
Прочитать остальную часть записи »

На продолжение темы про разные интересные математические константы, мы сегодня поговорим про число е. Оно также не менее часто используется, чем уже рассмотренное число Пи, и у него даже есть своя функция, которая называется экспонентой. И вообще оно очень интересно своей природой и имеет множество уникальных свойств.

Вводится число е, как основа натурального логарифма. Иногда это число ещё наживают числом Непера, так как этот известный шотландский учёный описал таблицу логарифмов, где говорится о натуральном логарифме. Первым же вычислил это число математик Бернулли, когда находил предел . Но саму букву е начал использовать Эйлер в своих работах, именно поэтому это число ещё часто называют числом Эйлера. Именно он и сделал много открытий и формул, которые связаны с этим числом.

Число е можно представить, как сумму ряду $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$, а ещё его можно разложить в бесконечную цепную дробь (смотрите на рисунке). Это будет два плюс дробь в числителе единица, а в знаменателе дроби начиная со второго (первый раз единица плюс дробь), идёт чётное число плюс дробь, потом в двух следующих идёт единица плюс дробь, следующее чётное число плюс дробь, опять в двух идёт единица и т.д. Такими способами можно и высчитать число Эйлера, вот первые девять знак после комы e = 2,718 281 828. Здесь, как и с числом Пи есть свои стишки для запоминания, вот один из них:

«Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»

(1828 – год рождения Льва Тостого).

Очень интересной есть формула, в которой связаны три интересных числа $e$, $\pi$ и $i$, $e^{i\pi}=-1$. Кроме этой формулы Эйлер ещё и доказал следующие формулы $e^{i\varphi}= \cos(\varphi) + i \sin(\varphi)$ и $e^{-i\varphi}= \cos(\varphi) - i \sin(\varphi)$, а также определил функцию $W=e^{z}$ для комплексной переменной $z$, чем заложил начало Комплексного анализа.

Одной из уникальных свойств самой функции, которая называется экспонентой, это есть то, что при дифференцировании или интегрировании эта функция не меняется. Если рассмотреть функцию y=a^x, где a – может быть любым числом, и искать касательную к графикам таких функций в точке (0,1), то только при a=e (то есть когда будет экспонента), касательная к ней будет проходить под углом 45? (угловой коэффициент будет равен tg(45? )=1).
Прочитать остальную часть записи »

Я не просто так в предыдущей статье рассказывал о том, как находить область определения функции. Именно это нам очень пригодится при нахождении асимптот для графика функции. Это очень важно знать перед построением графика, тогда намного легче его строить и именно о них и пойдёт речь в этой статье. И на эту тему я сделал текстовый пример со всеми объяснениями.

Асимптота – это прямая, к которой график функции неограниченно приближается.
И так, как же находить эти асимптоты? Начать можно с точек разрыва функции, то есть смотрим на область определения и если есть точки разрыва, то ищем предел, когда переменная приближается к этой точке разрыва. И если этот предел равный бесконечности, то соответствующая вертикальная пряма и есть асимптотой.

Когда нашли все вертикальные асимптоты, то можно приступать и к нахождению остальных асимптот. Для этого мы используем следующие формулы:

Точно такие же формулы работают и для х → + ∞ и х → - ∞ .

Лучше понять, как использовать эти формулы вы можете, посмотрев мой текстовый пример. Ещё на этом примере вы сможете понять:

• Как находить некоторые приделы?
• Какая разница между тем, что переменная приближается к минус или плюс бесконечности? Как это отражается на процессе нахождения предела?
• И другие фишки, которые надо знать при нахождении асимптот и пределов функции.

Думаю, такой пример нахождения асимптот до графика функции поможет вам лучше разобраться в данной теме, научится самому решать аналогические задания и даже немножко возобновить в памяти понятие предела функции.
Прочитать остальную часть записи »

При решении многих задач приходится искать область определения функции. Особенно это нужно знать при построении графика и исследовании функции. Именно поэтому я решил рассмотреть основные варианты, которые могут быть при нахождении области определения функции. Их не так много, наверняка, многие это знают и сами, но думаю, напомнить не будет лишним.

И так, область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. То есть значения переменной х, при которых функция от этой переменной существует, а могут быть и такие, при каких она не существует, нам нужны, только те, при которых – существует.

Рассмотрим конкретные варианты, в каких случаях функция может существовать не при всех значениях переменной:

• Во-первых, когда есть дробь, в этом случае знаменатель дроби, недолжен быть равным нулю, потому, что такая дробь не может существовать. То есть, если ваша функция - дробь и в знаменателе есть переменная (потому, что если там только число, то оно никогда не станет нулём) то вам надо всё то выражение, что в знаменателе прировнять к нулю. И решив полученное уравнение, вы найдёте те значения переменной x, которые необходимо исключить с области определения.



• Во-вторых, когда есть корень чётной степени, думаю, вы знаете, что в поле вещественных чисел, корень чётной степени может быть только с положительного числа. То есть если в вас есть функция с корнем чётной степени, то что бы найти те числа, которые не будут попадать в область определения, вам надо решить неравенство, где выражение, что под корнем будет меньше нуля.



• В-третьих, когда есть логарифм. Здесь понятно, что область определения логарифма все числа, которые больше ноля. То есть что бы найти те значения переменной, которые надо исключить с области определения, вам надо составить и решить неравенство, где выражение, которое будет под логарифмом должно быть меньше нуля.



• В-четвёртых, не надо забыть о таких обратных тригонометрических функциях, как арксинус и арккосинус, которые определены, только на промежутке [-1;1]. Соответственно вам надо следить, что бы выражение, которое будет под этими функциями, также попадало в этот промежуток и исключить все значения переменной, которые туда не попадают.
• И в-пятых, в одном примере может быть несколько этих случаев. Надо разбирать всё, до мельчайших подробностей. Например, в знаменателе дроби, может быть корень из арксинуса , поэтому вам надо отобрать, только те значения переменной, при которых существует арксинус, при чём значение этого арксинуса должно не должно быть равное нулю (так как оно в знаменателе) и также не должно быть отрицательным (так как есть корень).

Прочитать остальную часть записи »

Решил добавить ещё немного информации по производным. В предыдущей статье мы говорили о производных высших порядков, а сегодня я расскажу вам немного о частных производных. Многим сложно разобраться, как правильно их находить, но я надеюсь, что те два примера, которые я рассмотрел в видео-уроке , вам должны помочь в этом.

Для начала немножко расскажу, что такое частная производная! Ну, вот если бы вам дали задание найти производную, от функции с трёмя переменными, то у вас возникает логический вопрос: «А по какой переменной брать эту производную?». Именно поэтому существуют частные производные, то есть это производные от функции с несколькими переменными по одной из этих переменных. Если, например, у вас функция от трёх переменных: $x, y, z$, то соответственно вы можете взять и частные производные по каждой из них.

Теперь вернёмся до видео-примера . Посмотрев его, вы узнаете ответы на такие вопросы:

• Что такое частная производная и как она обозначается?
• Как находить частные производные?
• Как вычислить полный дифференциал функции с несколькими переменными?
• Как найти частные производные высших порядков?
• Что такое смешанные частные производные?

Прочитать остальную часть записи »

Давно я уже не выкладывал видеоуроков и сегодня решил исправить эту ситуацию. Я знаю, что не все понимают, что такое дифференциал или производная второго, третьего и даже выше порядка. Именно на эту тему я и решил записать небольшой видео пример . В котором пробую немножко разъяснить эту тему.

Хочу сразу заметить, что если вы не видели мои предыдущие видеоуроки по производным, то рекомендую сначала посмотреть их. Так вам будет на много легче понять эту тему. Также я немного говорил про это в уроках по Mathcad.

После просмотра этого видеоурока вы узнаете:

• Что такое производная и дифференциал высшего порядка;
• Как их находить;
• Некоторые фишки от нахождения производных высших порядков, которые используются при интегрировании по частям;
• Также небольшой секрет, по нахождению производных;
• И это всё рассмотрено на трёх простых примерах с объяснением каждого шага.

И на конец, хочу сказать, что производные и дифференциалы разных высших порядков на практике используются намного чаще, чем обычные. В частности их используют при разложении функции в ряд Тейлора или при нахождении интервалов выпуклости и вогнутости графика.
Прочитать остальную часть записи »