Число е (экспонента)...

На продолжение темы про разные интересные математические константы, мы сегодня поговорим про число е. Оно также не менее часто используется, чем уже рассмотренное число Пи, и у него даже есть своя функция, которая называется экспонентой. И вообще оно очень интересно своей природой и имеет множество уникальных свойств.

Вводится число е, как основа натурального логарифма. Иногда это число ещё наживают числом Непера, так как этот известный шотландский учёный описал таблицу логарифмов, где говорится о натуральном логарифме. Первым же вычислил это число математик Бернулли, когда находил предел . Но саму букву е начал использовать Эйлер в своих работах, именно поэтому это число ещё часто называют числом Эйлера. Именно он и сделал много открытий и формул, которые связаны с этим числом.

число e экспонентаЧисло е можно представить, как сумму ряду  e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}, а ещё его можно разложить в бесконечную цепную дробь (смотрите на рисунке). Это будет два плюс дробь в числителе единица, а в знаменателе дроби начиная со второго (первый раз единица плюс дробь), идёт чётное число плюс дробь, потом в двух следующих идёт единица плюс дробь, следующее чётное число плюс дробь, опять в двух идёт единица и т.д. Такими способами можно и высчитать число Эйлера, вот первые девять знак после комы e = 2,718 281 828. Здесь, как и с числом Пи есть свои стишки для запоминания, вот один из них:

«Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»

(1828 – год рождения Льва Тостого).

Очень интересной есть формула, в которой связаны три интересных числа e, \pi и i, e^{i\pi}=-1. Кроме этой формулы Эйлер ещё и доказал следующие формулы e^{i\varphi}= \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) и e^{-i\varphi}= \cos(\varphi) - i \sin(\varphi), а также определил функцию W=e^{z} для комплексной переменной z, чем заложил начало Комплексного анализа.

Одной из уникальных свойств самой функции, которая называется экспонентой, это есть то, что при дифференцировании или интегрировании эта функция не меняется. Если рассмотреть функцию y=ax, где a – может быть любым числом, и искать касательную к графикам таких функций в точке (0,1), то только при a=e (то есть когда будет экспонента), касательная к ней будет проходить под углом 45? (угловой коэффициент будет равен tg(45? )=1).

Вот мы и кратко познакомились с числом е и экспонентой, а то столько раз это используем, а о происхождении и свойствах знаем не много. Теперь этих знаний будет больше.

Поделиться с друзьями:

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *