Число е (экспонента)...

16.11.2010 |

На продолжение темы про разные интересные математические константы, мы сегодня поговорим про число е. Оно также не менее часто используется, чем уже рассмотренное число Пи, и у него даже есть своя функция, которая называется экспонентой. И вообще оно очень интересно своей природой и имеет множество уникальных свойств.

Вводится число е, как основа натурального логарифма. Иногда это число ещё наживают числом Непера, так как этот известный шотландский учёный описал таблицу логарифмов, где говорится о натуральном логарифме. Первым же вычислил это число математик Бернулли, когда находил предел . Но саму букву е начал использовать Эйлер в своих работах, именно поэтому это число ещё часто называют числом Эйлера. Именно он и сделал много открытий и формул, которые связаны с этим числом.

Число е можно представить, как сумму ряду $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ , а ещё его можно разложить в бесконечную цепную дробь (смотрите на рисунке). Это будет два плюс дробь в числителе единица, а в знаменателе дроби начиная со второго (первый раз единица плюс дробь), идёт чётное число плюс дробь, потом в двух следующих идёт единица плюс дробь, следующее чётное число плюс дробь, опять в двух идёт единица и т.д. Такими способами можно и высчитать число Эйлера, вот первые девять знак после комы e = 2,718 281 828. Здесь, как и с числом Пи есть свои стишки для запоминания, вот один из них:

«Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»

(1828 – год рождения Льва Тостого).

Очень интересной есть формула, в которой связаны три интересных числа $e$ , $\pi$ и $i$ , $e^{i\pi}=-1$ . Кроме этой формулы Эйлер ещё и доказал следующие формулы $e^{i\varphi}= \cos(\varphi) + i \sin(\varphi)$ и $e^{-i\varphi}= \cos(\varphi) - i \sin(\varphi)$ , а также определил функцию $W=e^{z}$ для комплексной переменной $z$ , чем заложил начало Комплексного анализа.

Одной из уникальных свойств самой функции, которая называется экспонентой, это есть то, что при дифференцировании или интегрировании эта функция не меняется. Если рассмотреть функцию y=a^x, где a – может быть любым числом, и искать касательную к графикам таких функций в точке (0,1), то только при a=e (то есть когда будет экспонента), касательная к ней будет проходить под углом 45? (угловой коэффициент будет равен tg(45? )=1).

Вот мы и кратко познакомились с числом е и экспонентой, а то столько раз это используем, а о происхождении и свойствах знаем не много. Теперь этих знаний будет больше.
____________________________________________________________
В наш час покупка авто - это очень ответственный шаг в жизни, поэтому необходимо сразу определится, какой лучше выбрать новый или подержанный автомобиль, отечественный или иномарку.