Математика, решение онлайн!!!

Июнь 2011

В истории высшей математики циклоида сыграла исключительно важную роль. Более полустолетия она привлекала внимание крупнейших ученых 17 века. Ряд ее свойств, найденных геометрическими средствами, подтвердил правильность новых аналитических методов. Другие ее свойства удалось открыть только с помощью этих новых методов.

В 1590 г. Г. Галилей, изучая траекторию точки катящейся окружности, построил циклоиду (ему принадлежит и наименование этой линии). Он пытался определить площадь, ограниченную аркой линии и ее основанием. Не располагая средствами для теоретического решения задачи, он пытался найти отношение площади циклоиды к площади производящего круга путем взвешивания. Вначале он полагал, что это отношение будет равно 3, но потом обратил внимание на то, что во время эксперимента всегда выходило число, меньшее трех. Так как разность была не очень большой, то казалось, что искомое отношение невозможно выразить через небольшие целые числа, и Галилей пришел к убеждению, что это отношение будет иррациональным.

После смерти Галилея (1642 г.) его ученики Э. Торричеллии В. Вивиани, делившие с ним горести заточения, занялись математическим исследованием циклоиды. Вивиани, применяя кинематические соображения, нашел свойство касательной; Торричелли, применяя приемы, предвосхитившие интегральное исчисление, определил площадь фигуры.

Площадь ее была найдена также Ж. Роберзалем независимо от Торричелли и, вероятно, на несколько лет раньше последнего. Метод Роберваля замечателен по остроумию и простоте.

Тем же методом Роберваль нашел объемы тел вращения циклоиды около основания и около высоты. Роберваль рассматривал не только обыкновенную циклоиду, но также удлиненную и укороченную и дал метод построения их касательных.

Как ни замечательны были эти открытия, они относились все же к задачам, которые для ряда других фигур решались уже с давних пор. Между тем все попытки осуществить точное спрямление криволинейных дуг оставались безуспешными. Циклоида была первой кривой линией, которую удалось спрямить. Впервые это сделал выдающийся английский астроном, физик, математик и архитектор К. Рен (1632— 1723). Работа Рена была опубликована в 1658 г. Вскоре та же задача была решена рядом других ученых, причем П. Ферма, кроме того, впервые выполнил спрямление алгебраической линии (полукубической параболы).

Исчерпывающее исследование геометрических свойств циклоиды было произведено Б. Паскалем, работа которого вышла в свет в 1659 г.

В последующее сорокалетие трудами таких первоклассных ученых, как X. Гюйгенс, И Ньютон, Г. В. Лейбниц и братья Бернулли, были исследованы механические применения циклоиды. Задача о брахистохроне в ее обобщенном виде явилась одним из основных истоков созданной в 18 веке трудами Л. Эйлера и Ж. Л. Лагранжа новой отрасли математики — вариационного исчисления.

Мы уже знаем определение и некоторые виды циклоиды, сегодня узнаем связь этой замечательной геометрической фигуры с другими линиями.

Эволюта и эвольвента обыкновенной циклоиды. Эволюта обыкновенной циклоиды (геометрическое место центров кривизны) есть циклоида, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания АВ и опущенная под основание на расстояние, равное высоте циклоиды. Другими словами, эвольвента циклоиды C₄BD, исходящая из вершины В этой кривой, есть циклоида M₂BN, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания C₄D и поднятая над основанием на расстояние, равное высоте данной линии.

Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки М циклоиды на диаметр производящего круга, проходящий через точку опоры, есть синусоида с длиной волны 2πr и амплитудой d. Ось этой синусоиды совпадает с линией центров циклоиды.

Циклоида как проекция винтовой линии.
Обозначения: h — шаг винтовой линии; а — ее радиус; α — угол подъема; β — угол между осью винтовой линии и плоскостью проекций; σ — угол наклона проецирующих лучей к плоскости проекций.

Косоугольная проекция винтовой линии на плоскость, перпендикулярную оси, есть циклоида. Если σ > α, то эта циклоида удлиненная; если σ < α, то укороченная; если σ = α, то обыкновенная. Прямоугольная проекция винтовой линии на ту же плоскость есть, очевидно, окружность.

Прямоугольная проекция винтовой линии на плоскость, не перпендикулярную оси, но и не параллельную последней, есть «сжатая циклоида», т. е. линия, получаемая из циклоиды с помощью равномерного сжатия к какой-либо прямой, перпендикулярной линии центров циклоиды.

Коэффициент сжатия k = sin β ; величины r и d, характеризующие циклоиду (до ее сжатия), выражаются так:

Отсюда видно, что при β > α проекция винтовой линии родственна с удлиненной циклоидой; при β < α — с укороченной; при β = α — с обыкновенной.
Прочитать остальную часть записи »

И так продолжаем тему геометрических фигур и сегодня поговорим о циклоиде, как она определяется и какие есть ее виды.

Определение. Циклоидой называется линия, которую описывает точка, закрепленная в плоскости круга (производящий круг), когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой KL (направляющая).

Если точка М, описывающая циклоиду, взята внутри производящего круга (т. е. расстояние CM = d от центра С меньше радиуса r), то циклоида называется укороченной; если вне круга (т. е. d > r), — удлиненной; если же точка М лежит на окружности (т. е. d = r), то линия, описываемая этой точкой, называется обыкновенной циклоидой или чаще просто циклоидой.

Пример. Когда вагон движется по рельсам, внутренняя точка колеса описывает укороченную циклоиду, точка на ободе — удлиненную, а точка окружности колеса — обыкновенную.

Начальной точкой фигуры называется такая ее точка, которая лежит на прямой (С₀О)у соединяющей центр С₀ производящего круга с точкой его опоры (О), и расположена по ту же сторону от центра С₀, что и точка опоры О. Точка В на рисунках — тоже начальная.

Начальные точки обыкновенной циклоиды лежат на направляющей и совпадают с соответствующими точками опоры производящего круга.

Вершиной циклоиды (D на рисунке) называется такая ее точка, которая лежит на прямой С'О' соединяющей центр С' производящего круга с точкой опоры О', но расположена на продолжении отрезка С'О' за точку С'.

Отрезок АВ, который соединяет две соседние начальные точки, будет называтся основанием циклоиды; а перпендикуляр DF, который опущен из вершины циклоиды на ее основание, — высотой. Дуга, которая описывается точкой М между двумя соседними начальными точками, также имеет свое название - арка циклоиды; прямая UV, которая описывается центром С производящего круга, — линия центров.
Прочитать остальную часть записи »

Раньше мы уже ознакомились с логарифмической спиралью, ее определением, геометрическими свойствами и особенностями формы, а здесь рассмотрим её немножко с другой стороны, а также узнаем, какие ученые ее исследовали.

Кинематическое свойство. Если дуга логарифмической спирали катится (без скольжения) по прямой АВ, то центр кривизны, соответствующий точке касания, движется по прямой, наклоненной к АВ под углом π/2 - α .

Картографическое свойство. Сферическая линия, пересекающая меридианы под постоянным углом α (эта линия называется локсодромой(Что значит «кособежная» — от греческих слов «локсос» — косой и «дромос» — бег. Корабль, сохраняющий неизменный курс, движется по локсодроме. )), проецируется из полюса сферы Р на плоскость экватора логарифмической спиралью; полюс последней находится в центре сферы. Меридианы проецируются при этом лучами, направленными по полярным радиусам спирали; эти лучи пересекаются спиралью под тем же углом а, под которым локсодрома пересекает меридианы.
Прочитать остальную часть записи »

Все мы разные, кто бедный, а кто богатый, кто красивый, а кто не очень, кто лучше разбирается в математике, кто в истории, а кто марафоны бегает на несколько десятков километров. То есть у каждого есть что-то, что не особо умеет, а есть что-то, что он делает лучше других, только надо это в себе открыть и развивать. Это только подтверждает мысль моего поста, что студенту надо быть в поиске… То есть искать, то что он умеет лучше всего, что ему по душе.

Потому, как мы уже выяснили, учимся мы не всегда по позову души, значит исправить это можно методом проб и ошибок в студенческие годы, так как именно тогда есть куча свободного времени.

Какая же должна быть эта новая работа? Вот 3 критерии, которые, на мой взгляд, наиболее важны:

1. Она должна вам нравится, не просто идти туда, что бы заработать денег или отбыть день, а с мыслями: «Как это интересно, нужно разобраться в этом по глубже, нужно некоторые моменты улучшить и т.д.». Если этот пункт не реализован, значит смело ищите новую, это самое главное!!!
2. У вас должно оставаться время на учебу и студенческую жизнь. Может потом вы поймете, что это главнее за учебу (тогда можно подумать о заочном и т.д.), но хотя бы первые полгода, надо ещё учится. Так как не всегда мы сразу понимаем, что это именно то, что нам надо, не делайте поспешных выводов, все хорошо обдумывайте. А то бывает, что получили первую зарплату в несколько раз выше стипендии и закинули учебу, а потом оказывается, что не все так просто, что на эти деньги надо ещё работать и работать и тогда уже жалеешь, что забросил учебу. В этом случае идеальный вариант, что бы у вас был свободный график.
3. Ну и последние, должна быть перспектива. То есть вы должны набираться необходимого опыта, новых знаний, не сидеть на месте, а расти. Также финансовая перспектива, понятно, что сразу обычному студенту никто не предложит большую зарплату, но вы должны видеть, к чему расти. Например, вы захотели стать ресторатором, но пошли в ближайшее маленькое кафе официантом, где владей и директор – это одно и тоже лицо, а администратор – его жена. Думаю, понятно, что в здесь не о какой перспективе и речи не может быть. А вот если вы пошли к человеку, у которого сеть ресторанов, при этом заявили, что хотели бы быть администратором и подавали новые конструктивные идеи по развитию, то ваши шансы на повышение в должности и в зарплате значительно увеличиться. Или второй вариант, когда все уже в полную работают на Windows 7, вы решили заняться установкой Windows NT, которой уже несколько лет практически никто не интересуется, то есть сразу понятно, что не может быть ни какого развития. Если вы не видите перспективы, то не задерживайтесь на этом месте.

Прочитать остальную часть записи »

Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – логарифмическую спираль, которая немного напоминает уже пройденные эвольвенту и архимедову спираль, но все же у нее свои особенности, которые мы сейчас и рассмотрим. По ней даже курсовую работу можно сделать.

Для начала изучим определение. Пусть (смотрите на рисунке) прямая UV равномерно вращается около неподвижной т.О (полюс), а т. в свою очередь М движется вдоль UV, отодвигаясь от О со скоростью, которая пропорциональна расстоянию ОМ. Линия, которая описывается точкой М, называется логарифмической спиралью.

Теперь перейдем к основным геометрическим свойствам. Повороту данной прямой UV из любого ее положения на заданный угол ω (= ∠ M₀OM₁) соответствует одно и то же отношение ОМ₁: ОМ₀ указанных полярных радиусов. Говоря по другому: если пара точек M₀, M₁ логарифмической спирали видна из ее полюса под тем же углом, что и данная другая пара точек N₀, N₁ той же самой спирали, то треугольники OM₀M₁ и ON₀N₁ подобны.

Отношение q конечного полярного радиуса (ОА₁) к ее начальному (ОА₀) если повернуть UV на угол +2π называют коэффициентом роста логарифмической спирали.

Еще также различают правую и левую спирали. Если при удалении точки М от полюса О пряма UV вращается против часовой стрелки, тогда называется правой; а если против — левой. Также известны коэффициенты роста для правой q > 1; для левой q < 1. Ну, а если q = 1 тогда спираль вырождается в окружность.

От сюда можно сделать вывод, что если коэффициенты роста правой и левой спиралей в произведении дают 1, то их можно совместить, лицевую сторону одной из них сделав оборотной.
Прочитать остальную часть записи »

В близком родстве с архимедовой спиралью находится другая спираль — эвольвента круга (или эвольвента окружности). Это — линия, описываемая концом М (смотрите на рисунке) натянутой нити LM, сматываемой с круглой катушки D₀LL₁ (или наматываемой на катушку; в последнем случае точка М движется в обратном направлении). Геометрически указанное свойство выражается следующим образом.

Определение. Пусть точка L, исходя из начального положения D₀, многократно описывает окружность радиуса k (k — параметр эвольвенты круга). На касательной LH откладывается по направлению, противоположному направлению вращения, отрезок LM, равный дуге D₀L, пройденной точкой L. Эвольвента круга есть линия, описываемая точкой М. Одна и та же окружность имеет бесчисленное множество эвольвент (соответствующих всевозможным положениям начальной точки D₀).

В зависимости от того, вращается ли точка L по часовой стрелке или в противоположном направлении, получаем правую эвольвенту круга (D₀MP на рисунке) или левую (D₀Q). Обычно две эвольвенты данного круга рассматриваются как две ветви одной линии.

Связь с архимедовой спиралью. Сопоставим правую (левую) ветвь эвольвенты круга с правой (левой) архимедовой спиралью с тем же параметром k = OD₀ (т. е. с шагом 2πа =D₀E₀), что и эвольвента круга. Пусть эта спираль (пунктирная линия на рисунке) исходит из центра О данной окружности по направлению луча ОХ', получаемого поворотом начального радиуса OD₀ на угол -90° (+90°). Точка G, описывающая спираль, неограниченно приближается к эвольвенте: кратчайшее расстояние от точки G до эвольвенты (оно измеряется отрезком GM нормали LH эвольвенты) уже в конце первого витка составляет лишь 1% от шага спирали.

С другой стороны, полярный радиус ON спирали, составляющий угол -90° (+90°) с радиусом OL, имеет ту же длину kα , что отрезок LM. Это значит, что основание перпендикуляра, опущенного из центра О на касательную МТ эвольвенты у описывает архимедову спираль.

И на окончание небольшие исторические сведения. Эвольвенты различных линий впервые были изучены X. Гюйгенсом в его известной работе о часовом маятнике (1673 г.). Основные свойства эвольвенты круга найдены французским ученым Ла Гиром (1640—1718) и изложены в его работе 1706 г. Ещё некоторые А. К. Клеро (1713—1765) в 1740 г., а также кинематическое свойство натурального уравнения (любой линии) указаны Мангеймом в 1859 г.

Сегодня я решил расширить разнообразие тем, которые раскрываются на сайте, и поговорить о разных геометрических фигурах. А то часто встречаются и такие, которые люди себе даже не могут представить о некоторых из них можно даже дипломную работу написать. Чего только ненапридумывали эти математики. Речь пойдет о Архимедовой спирали. Думаю, о таком величайшем математике все слышали, ну а теперь ещё узнаете о геометрической фигуре названной в его честь.

Определение. Пусть прямая UV (смотрите на рисунке), исходя из начального положения Х'Х, равномерно вращается около неподвижной точки О, а точка М, исходя из начального положения О, равномерно движется вдоль UV. Линия, описываемая точкой М, называется архимедовой спиралью — в честь великого древнегреческого ученого Архимеда (3в. до н. э.), впервые изучившего эту линию.

Замечание. Входящие в определение кинематические понятия можно устранить, заменив их условием — чтобы расстояние ρ = ОМ было пропорционально углу поворота φ прямой UV.

Повороту прямой UV из любого ее положения на данный угол соответствует одно и то же приращение расстояния ρ . В частности, полному обороту соответствует одно и то же смешение ММ₁ = а. Отрезок а называется шагом архимедовой спирали.

Данному шагу а соответствуют две архимедовы спирали, различающиеся друг от друга направлением вращения прямой UV. При вращении против часовой стрелки получается правая спираль (жирная линия); при вращении по часовой стрелке — левая (штриховая линия). Их с одним и тем же шагом можно совместить, но для этого надо у одной из них лицевую сторону сделать оборотной. Как видно из последнего рисунка, правую и левую спирали одного и того же шага можно рассматривать как две ветви линии, описываемой точкой М, когда последняя пробегает всю прямую UV, проходя точку О попутно.
Прочитать остальную часть записи »