Математика, решение онлайн!!!

Сентябрь 2011

Сегодня рассмотрим основные понятия дифуров: определение, общий, основные составляющие и методы их решения.

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, которое содержит производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.

В тех случаях, когда неизвестные функции зависят только от одного аргумента, то оно называется обыкновенным, ну а если от нескольких, то уравнение будет называться дифференциальным уравнением с частными производными (ДУЧП). Здесь пока что рассматриваются только обыкновенные.

Общий вид дифура с одной неизвестной функцией таков:
Φ(х,у,у',у",...,у⁽ⁿ⁾) = 0.

А его порядком называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение. То есть в выше указанно виде мы имеем ДУ n-го порядка.

Примеры. Уравнение у' = y²/x есть ДУ первого порядка; а уже у" + у = 0 — второго порядка, ну а y'² = х³ — так же первого.

Функция у = φ(х) называется решением ДУ, если последнее обращается в тождество после подстановки у = φ(х).

Основной задачей теории дифуров является нахождение всех решений данного ДУ, а их всегда много, так как они могут отличаться минимум на какую-то константу. В простых случаях эта задача сводится к нахождению интеграла. Поэтому его решение еще могут называть его интегралом, а процесс нахождения всех этих решений — интегрированием дифференциального уравнения.
Прочитать остальную часть записи »

Цепной линией называется линия, по которой провешивается однородная нерастяжимая нить, закрепленная в двух ее концах.

В первоначальной постановке вопроса речь шла о линии провеса цепи, откуда и название «цепная линия». Заменяя цепь нитью, мы отвлекаемся от ряда обстоятельств (размер звеньев, их трение и т. д.), затрудняющих исследование. Напряжение поле тяготения Земли предполагается постоянным по величине и направлению.

В зависимости от положения точек Р, Q, где закрепляются концы нити, и от длины l самой нити (l > PQ) дуга провеса имеет различный вид. Однако исследование показывает, что изображение дуги PQ, сделанное в надлежащем масштабе, можно совместить с некоторой дугой P₀Q₀ вполне определенной бесконечной линии LAN. Именно к этой бесконечной линии в целом (а не к дуге провеса, составляющей ее часть) и относится наименование «цепная линия».

Низшая точка А называется ее вершиной.

Когда рассмотреть случай, в котором точки закрепления цепи находятся на равной высоте и цепь практически такая же, как и расстояние между указанными точками, дуга провеса кажется тождественной дуге параболы. Долгое время все так и думали. Но велики ученый Г. Галилей, работая над теорией механики, поставил под сомнение правильность этого мнения, но, правда, так он и не смог как ни подтвердить его, так и ни опровергнуть. А уже в 1669 г. математик Юнгиус установил теоретически и практически, что линия провеса цепи не парабола. Хотя ему не хватило средств для того, что бы найти истинную форму этой лини. Но вскоре после того, как великие математики И. Ньютон и Г. В. Лейбниц разработали известные методы анализа бесконечно малых, стало возможным решить и данную задачу. Она была сформулирована в 1690 г. Якобом Бернуллии и решена его братом Иоганном Бернулли, X. Гюйгенсом и Г В. Лейбницем.

Я. Бернулли также поставил и другую задачу, которая звучала так: пренебрегая весом паруса, раздуваемого ветром, найти линию профиля паруса. Он сам и составил дифференциальное уравнение, которое опять решил его брат Иоганн. Оказалось, что это так же будет цепная линия.
Прочитать остальную часть записи »

Иосиф Флавий, знаменитый писатель I века нашей эры, был также одним из вождей восставшей Иудеи. Об Иудейской войне он написал знаменитую книгу, в которой рассказал и историю своего пленения Титом Флавием Веспасианом, тогда — полководцем, а впоследствии римским императором.

Римские войска, пришедшие усмирять мятеж в провинции Иудея, осадили галилейскую крепость Иотапату, гарнизоном которой в тот момент командовал Иосиф. В крепости в достатке было продовольствия, но не было источников, и защитники собирали и использовали дождевую воду. Длительную осаду крепость выдержать не могла, и римляне предполагали взять ее за одну - две недели. Они просчитались — Иотапата продержалась «семь раз по семь дней», но в конце концов пала. Последние защитники укрылись в пещерах; в одной из таких пещер спрятался и Иосиф вместе с сорока знатными иудеями. И тут между обитателями пещеры вышел спор: Иосиф настаивал, что нет позора в сдаче в плен, но его товарищи считали, что лучше умереть, чем стать римскими рабами. Чтобы не сдаться живыми и одновременно не впасть в грех самоубийства, в конце концов решили бросать жребий, и каждый, на кого он укажет, должен был быть убит следующим по очереди. «Эта история породила впоследствии «задачу Флавия». Видимо, в божественное предопределение не очень верилось, и многие задавались вопросом: как удалось хитроумному Иосифу подстроить так, чтобы именно он в конце концов уцелел? По сведениям, сообщенным самим Флавием, трудно понять, как именно разыгрывалась «очередь на смерть», но в конце концов утвердилось мнение, что обитатели пещеры попросту считались, как это делают дети. Так возникла «задача Флавия»: если считать до одного и того же числа, каждый раз выводя из круга того, на ком закончился счет, и начиная считать вновь со следующего за выбывшим, кто останется в круге последним?
Прочитать остальную часть записи »

Знаете ли вы, что среди зрителей, сидящих в Большом театре во время спектакля, обязательно есть люди, родившиеся в один и тот же день одного и того же месяца? Считайте сами; в зале Большого театра 2000 мест. И даже если не все они заполнены, можно смело утверждать, что на спектакле собралось более 366 человек. Но 366 — это максимально возможное число дней в году, считая 29 февраля. Итак, для 367 - го зрителя просто не остается свободной от дней рождений его соседей по залу даты в году.

Просто? Тем не менее это рассуждение даже имеет свое название в математике: принцип Дирихле. По традиции он почему-то всегда объясняют на примере кроликов в клетках; если общее число кроликов больше числа клеток, в одной из клеток наверняка сидит более одного кролика.

Этим принципом в неявном виде пользовался, например, Ферма в XVII веке; но широко применяться в доказательствах он стал лишь с прошлого века! Несмотря на свою простоту, это рассуждение оказалось чрезвычайно плодотворным. Вот только один пример. Если делить одно целое число на другое, например 1 на 7, что мы получим? Будем делить в столбик, получая все новые и новые остатки. Но поскольку остатками от деления на 7 могут быть лишь числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 0, мы либо должны на каком-то шаге получить 0 и остановиться, либо после шестого деления один из остатков обязан повториться. Дальше делить нет смысла — этот остаток мы уже разделили на 7, и все результаты у нас перед глазами. Ясно, что деление будет продолжаться бесконечно, но мы будем получать снова и снова одну и ту же последовательность цифр — период.

Выходит, при делении целого числа на целое мы получим либо конечную десятичную дробь, либо периодическую — и более ничего!

Как видим – все гениальное просто, и к этому же относится и принцип Дирихле.

Кто не держал в руках цепочек? Не всегда их кольца круглые, а в цепочках, которые носят на шее, сразу и не разберешь, что они сделаны из колечек. Цепочкой является и олимпийская эмблема, символизирующая единение всех пяти обитаемых континентов планеты. Некоторые художники изображают эти пять колец более тесно сплетенными, здесь сцепление напоминает часть кольчуги древнего воина, но кольца неравноправны: одни сцеплены с двумя другими, вторые — с тремя, а среднее кольцо со всеми четырьмя.

А нельзя ли сцепить их более «равноправно»? Проще всего сцепить первое и последнее звенья у обычной цепочки, тогда каждое звено цепочки будет сцеплено с двумя звеньями. Можно сцепить пять звеньев так, чтобы каждое звено было сцеплено с четырьмя остальными.

А вот сцепить пять звеньев так, чтобы каждое звено было сцеплено ровно с тремя остальными, не удастся, сколько бы мы ни старались. Почему? А вот почему. Предположим, что такое сцепление удалось совершить, тогда свяжем каждые два веревочкой, но прежде посчитаем, сколько веревочек нам понадобится. На каждое кольцо будет надето три веревочки, а колец пять, выходит, нужно 15 веревочек? Нет! Ведь каждую веревочку мы посчитали два раза: один раз с одним кольцом, а во второй раз с тем кольцом, с которым первое соединено. Итак, веревочек должно быть 7,5! Ну а такого не может быть. Значит, ваше предположение о возможности сцепления неверно, т. е. такое сцепление невозможно.

А можно ли так сцепить их, чтобы никакие два из них не были сцеплены? Оказывается, можно! Их называют кольцами Борромео. Проверьте, что они действительно сцеплены и что при разрезании любого из этих колец конструкция рассыпается. Это очень интересная игра воображения.

Можно ли таким образом соединить 4, 5 или 6? Пожалуйста! Жду ваши мысли в комментариях.
Прочитать остальную часть записи »

Параболой называется кривая, точки которой одинаково удалены от некоторой точки, называемой фокусом, и от некоторой прямой, называемой директрисой параболы. Исходя из этого ее определения, легко соорудить чертежный прибор для ее вычерчивания. Достаточно взять линейку и угольник, закрепить линейку в некоторой точке, которая станет ее фокусом, воткнуть булавку, к ней прикрепить нитку, второй конец нитки прикрепить к вершине острого угла угольника так, чтобы длина нитки равнялась длине угольника, примыкающего к этому углу.

Легко увидеть у этой линии ось симметрии. Если вращать ее вокруг этой оси, то получится поверхность, которая играет основную роль в фарах автомобиля. Такую же поверхность имеют зеркала в телескопах, прожекторах. Дело в том, что лучи света, выходящие из фокуса, отражаясь от нее, дальше движутся по лучам, параллельным оси, и наоборот, поток параллельных лучей собирается в фокусе после отражения от такой поверхности.

Точно такую же форму принимает жидкость в цилиндрическом сосуде, если этот сосуд вращать вокруг его оси. Использовав для этой цели ртуть, американский физик Роберт Вуд получил идеальное зеркало для телескопа.

По ней летит и брошенный вами камень и пушечное ядро, а множество всех точек, до которых может долететь такое ядро при разных углах стрельбы из пушки, также ограничено этой линией.

И еще одно очень важное свойство — она является графиком квадратичной зависимости: $y = kx^2$. То есть парной функцией и симметрической относительно оси ординат.

Сегодня продолжаем изучать удивительный мир геометрии, много геометрических фигур мы уже рассмотрели, ну сейчас обобщим некоторые из этих понятий.

Спиралями называют такие линии, которые многократно обходят некоторую точку плоскости. Простейшей такой линией является спираль Архимеда, у которой расстояние между витками имеет всюду одинаковую величину. По ней располагается звуковая дорожка на грампластинке, ее можно увидеть в механизме перематывания ниток на швейной машине, в конденсаторе переменной емкости радиоприемника и во многих других приборах и механизмах.

Очень часто встречается логарифмическая спираль. Ее можно видеть на раковинах улиток и линиях расположения семян подсолнечника. Главная ее особенность заключается в том, что она пересекает все лучи, исходящие из центральной точки — полюса под одним и тем же углом. Если мы, находясь поблизости от Северного полюса, начнем все время двигаться на северо-запад, то мы будем кружить вокруг него по логарифмической спирали.

Биологи заметили, что ночные бабочки пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам. Они инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Однако, встречая точечный источник света — свечу или лампочку, они начинают лететь по логарифмической спирали, приближаются к источнику света и часто погибают. Здесь инстинкт их подводит.

Существуют и другие виды, например, спираль Корню, названная так в честь открывшего ее французского физика XIX века А. Корню.
Прочитать остальную часть записи »

Несколькими постами раньше мы рассмотрели понятие точки, что это такое, как она определена в математике и кем, сегодня точно также затронем тему линии.

Мы часто рисуем различные линии, в школе изучаем некоторые из них, например, прямую и окружность, знаем о существовании других — спиралей, овалов... Но что это такое?

Строгое определение понятия «линия» появилось совсем недавно, и оно очень непросто. Евклид в своих «Началах» определял линию как «длину без ширины»; при этом он не считал, что она состоит из точек, а писал, что это то место, где располагаются точки. Отсюда и пошло выражение: геометрическое место точек. Конечно же, такое определение не могло устроить математиков, стремящихся к строгому определению всех понятий, с которыми они имеют дело.

После того как Рене Декарт ввел в арсенал математиков систему координат, появилась возможность сформулировать определение линии как траектории движущейся точки. Пусть точка движется по плоскости, тогда в каждый момент времени t можно определить ее координаты на этой плоскости: х = f, у = g. Наоборот, задав функции f и g, получим некоторую линию на плоскости. Например, х = 1 + 5ty; у = 2 - t дадут нам точки прямой линии.

Однако математики придумали такие функции f и g, для которых пробегаемое множество точек не отвечает нашим интуитивным представлениям о линии. Итальянский математик Д. Пеано нашел функции, для которых это множество содержит все точки некоторого квадрата. Построение такой линии довольно красиво. Она получается как предельное состояние кривых, изображенных на рисунке. Так что, как видим, в математике есть еще много всего не изведанного, и нет приделам работы нашего разума.