Задача Флавия.

Иосиф Флавий, знаменитый писатель I века нашей эры, был также одним из вождей восставшей Иудеи. Об Иудейской войне он написал знаменитую книгу, в которой рассказал и историю своего пленения Титом Флавием Веспасианом, тогда — полководцем, а впоследствии римским императором.

Задача ФлавияРимские войска, пришедшие усмирять мятеж в провинции Иудея, осадили галилейскую крепость Иотапату, гарнизоном которой в тот момент командовал Иосиф. В крепости в достатке было продовольствия, но не было источников, и защитники собирали и использовали дождевую воду. Длительную осаду крепость выдержать не могла, и римляне предполагали взять ее за одну - две недели. Они просчитались — Иотапата продержалась «семь раз по семь дней», но в конце концов пала. Последние защитники укрылись в пещерах; в одной из таких пещер спрятался и Иосиф вместе с сорока знатными иудеями. И тут между обитателями пещеры вышел спор: Иосиф настаивал, что нет позора в сдаче в плен, но его товарищи считали, что лучше умереть, чем стать римскими рабами. Чтобы не сдаться живыми и одновременно не впасть в грех самоубийства, в конце концов решили бросать жребий, и каждый, на кого он укажет, должен был быть убит следующим по очереди. «Эта история породила впоследствии «задачу Флавия». Видимо, в божественное предопределение не очень верилось, и многие задавались вопросом: как удалось хитроумному Иосифу подстроить так, чтобы именно он в конце концов уцелел? По сведениям, сообщенным самим Флавием, трудно понять, как именно разыгрывалась «очередь на смерть», но в конце концов утвердилось мнение, что обитатели пещеры попросту считались, как это делают дети. Так возникла «задача Флавия»: если считать до одного и того же числа, каждый раз выводя из круга того, на ком закончился счет, и начиная считать вновь со следующего за выбывшим, кто останется в круге последним?

Понятно, что при таком счете играет роль последовательность остатков от деления одного и того же числа на все уменьшающиеся числа. Понятно также, что место последнего не выбывшего определяется только количеством стоящих в круге, количеством слов в считалке и тем, с кого первого начали считать. Посмотрим, как идет процесс счета для небольших чисел. Если в круге стоят только двое, ясно, что ответ зависит от четности числа, до которого идет счет; если оно нечетно, выбывает тот, с кого начали считать, если четно, — второй. Если в круге трое, ответ зависит от делимости на 3 количества слов в считалке: если оно делится на 3, после первого круга выбывает тот, кто стоит третьим от человека, с которого начался счет; если оно дает при делении на 3 в остатке 1, выбывает тот, с кого начался счет, и если оно дает в остатке 2, выбывает человек, стоящий вторым от начала отсчета; но затем задача сводится к предыдущей, и окончательный результат зависит также и от четности считалки. Ясно, что если в круге стоят четверо, свой вклад вносит остаток от деления на 4, но роль остатков от деления на 3 и 2 остается. Таким образом, Иосифу Флавию пришлось крепко подумать, чтобы сделать необходимый расчет для сорока одного человека! Впрочем, он мог, смоделировав ситуацию на камушках, выяснить, который остается последним в круге, и смело встать на нужное место, когда дошло до дела...

Поделиться с друзьями:

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *