Математика, решение онлайн!!!

Октябрь 2011

Эта красивая игрушка в конце 70-х годов нашего века вызвала всеобщий ажиотаж. И она заслуживала этого. Действительно, привести кубик Рубика в исходное состояние после того, как его «запутали», для очень многих обладателей этой игрушки было непосильным делом. Изобрел этот кубик в 1975 году преподаватель архитектуры из Будапешта Эрне Рубик, который хотел с его помощью развивать пространственное мышление у своих студентов.

Трудность сборки кубика объясняется не только огромным количеством различных положений, в которых он может находиться, но и тем, что при осуществлении очередного продвижения приходится временно разрушать уже установленную правильную структуру. Некоторые изготовители кубика прикладывали в комплект к нему пластмассовый топорик, чтобы вконец раздосадованный владелец мог отвести душу, разломав игрушку после долгих и безрезультатных попыток собрать головоломку.

В настоящее время о кубике известно почти все. Из любого положения его можно привести в исходное за 23 поворота, имеется компьютерная программа, которая переводит кубик из любого положения в исходное за 21 поворот. При этом используются различные комбинации поворотов, дающие те или иные промежуточные результаты.

Мы предлагаем вам алгоритм сборки, в котором участвует лишь одна такая комбинация. Сначала договоримся об обозначениях. Поставим кубик углом к себе. Вращение верхней грани кубика по часовой стрелке будем обозначать буквой В, а против часовой стрелки — буквой V. Вращение левой грани по часовой стрелке будем обозначать буквой Л, а против — буквой L. Вращение правой грани аналогично будем обозначать буквами П и Р. Рассмотрим следующую комбинацию поворотов Ф = ПBЛVLPЛ, т. е. сначала поворачиваем по часовой стрелке правую грань, потом снова по часовой стрелке верхнюю и т. д. Рассмотрим также обратную комбинацию, т. е. такую, которая возвращает кубик в исходное положение после комбинации Ф. Это, как нетрудно понять, будет комбинация F = LПЛBLVP. Действие операции Ф: все кубики на ребрах, кроме трех, переходят в прежние положения, передний кубик на ребре поворачивается, а два других кубика на левой грани меняются местами. Если операцию Ф проделать два раза подряд, то все кубики на ребрах останутся на своих местах, лишь те два кубика, которые при комбинации Ф менялись местами, повернутся.
Прочитать остальную часть записи »

Изопериметрическая задача в узком смысле слова заключается в том, что среди данной совокупности фигур, имеющих одинаковую длину контура — одинаковый периметр (такие фигуры и называются изопериметрическими фигурами или тзопериметрами), — требуется найти ту, площадь которой больше площадей всех прочих фигур рассматриваемой совокупности (но не всех вообще фигур с таким же периметром). Если данная совокупность состоит из всех решительно треугольников с данным периметром, то наибольшая площадь принадлежит равностороннему треугольнику, как будет доказано в свое время. Среди всех равнообводных прямоугольников наибольшей площадью обладает квадрат. А среди всех вообще плоских фигур с одинаковым периметром максимальной площадью обладает круг того же периметра.

В более широком смысле «изопериметрическими» называют также задачи о нахождении среди данной совокупности тел, ограниченных поверхностями данной величины, того тела, которое заключает наибольший объем (такие тела с одинаковыми по величине поверхностями называют «изоэпифанными»); задачи о наибольших сферических (начерченных на поверхности шара) фигурах с данным по длине контуром, задачи о наибольших плоских фигурах, часть контура которых задана по форме, а не по длине (например, в виде прямолинейного отрезка любой длины), и, наконец, задачи в известном смысле обратные (взаимные) по отношению к названным выше задачам: в них все сравниваемые фигуры имеют одинаковую площадь и требуется найти среди них ту, у которой периметр имеет наименьший размер. В таком же смысле слова обратной является задача — среди данной совокупности тел, имеющих одинаковый объем, найти то, у которого величина поверхности — наименьшая.
Прочитать остальную часть записи »

Эта игра — очень интересная и очень математическая. Играют двое. Каждый из них задумывает четырехзначное число. Обычно договариваются о том, чтобы все цифры в задуманных числах были разными. Задача — вычислить, что задумал противник. Ходят по очереди. Ход состоит в том, чтобы назвать какое-нибудь четырехзначное число, а противник обязан сообщить, сколько цифр совпало и какие из них оказались на нужных местах. Для краткости, цифры, которые совпали с цифрами задуманного числа и стоят на нужных местах, называют быками, а те цифры, которые совпали, но стоят не на своих местах, называют коровами. Тот, кто первым вычислил число, задуманное противником, выиграл.

Давайте разберемся, как нужно играть, чтобы не делать лишних ходов. Цифр всего десять. Значит, за два хода можно определить, как они распределены в группах цифр 1234, 5678, 90. Самый худший для вычисления вариант — когда две нужные цифры находятся среди цифр одной из проверенных нами четверок, одна — в другой четверка и одна — в паре 90. Добавляя к паре 90, где заведомо есть одна корова, любую пару из той четверки, где есть одна корова, можно на третьем ходу определить пару цифр, которых нет в задуманном противником числе. Зная две цифры, которых у противника нет, можно разбить ту четверку, где есть две коровы, на пары, в самом худшем случае — пары, в каждой из которых есть по одной корове. Это четвертый ход. Еще четыре хода нужно, чтобы заведомо выяснить, какие цифры задумал противник. Итак, за восемь ходов можно заведомо узнать все цифры числа, задуманного противником. Если при каждой проверке следить, чтобы проверяемые цифры не стояли на одном и том же месте в называемом на данном ходу числе, можно сократить вычисления до семи ходов.

Но на самом деле бывает, во-первых, везение, во-вторых, немалую роль играют чисто психологические факторы. Маловероятно, чтобы ваш противник задумал число, состоящее только из нечетных цифр, или из цифр, идущих подряд, — каждый стремится задумать число «потруднее». Так что если на каком-то ходе у вас есть выбор, скажем, из чисел 7819, 3819 и 1798, скорее всего, задумано число 3819 —оно «более сложное».
Прочитать остальную часть записи »

Все знают эту игру: на маленьком поле — 3x3 — двое игроков по очереди ставят свои значки, один — крестики, другой — нолики. Тот, кто первым построит ряд из трех значков по горизонтали, вертикали или диагонали, выиграл.

Эта игра быстро надоедает, поскольку вскоре игроки начинают понимать, как свести партию вничью. Но идея хороша, и существует множество вариаций на тему простейших крестиков - ноликов, куда более интересных. Даже на доске 3x3 игру можно усложнить, например, разрешив каждому из игроков ставить любой значок, крестик или нолик. Правда, в такой игре побеждает тот, кто ходит первым. Как только игроки найдут выигрышную стратегию, игра теряет свою прелесть. Можно играть в своеобразную помесь крестиков - ноликов и шашек: каждый из игроков по очереди выставляет три своих значка на поле, а затем разрешается каждым ходом передвигать их на одну клетку по вертикали или горизонтали, безразлично, в какую сторону. Цель та же — построить три знака в ряд. К сожалению, и тут есть выигрышная стратегия для того, кто делает первый ход. Существуют много вариантов и их помесей с шашками для досок 4x4, 5x5, 6x6... Для досок размерами более чем 9x9 доказано, что при правильной игре нолики всегда могут свести партию вничью.

Но самые интересные — крестики - нолики на бесконечном поле. Разумеется, поле — это обычный тетрадный листок в клетку, но его вполне хватает. Здесь нужно выстроить в ряд пять своих значков. Правда, и в этой игре крестики, ходящие первыми, имеют преимущество, но оно не так очевидно, как в играх на маленьких полях.
Прочитать остальную часть записи »

Те, кто считает, что единственными персонажами математических задач являются Икс и Игрек, жестоко ошибаются. Страна Математика населена массой различных существ. Частенько математики посещают остров, на котором всего два города, в одном из которых живут лжецы, которые все время лгут, а в другом — правдивые, говорящие только правду.

Представьте себя на этом острове в одном из городов. Как узнать, в какой город вы попали: в город правдивых или в город лжецов? Дело в том, что различить лжецов и правдивых по внешнему виду невозможно, все они ходят друг к другу в гости, и в каждом городе можно встретить как лжеца, так и правдивого. Конечно же, можно остановить кого-нибудь из них, хорошенько расспросить, выяснить, правдив ли он, и потом постараться выяснить свое местопребывание. Но жители этого города все время куда-то спешат. Ответив на ваш вопрос, они мчатся дальше по своим делам и уже не слышат следующего вашего вопроса.

На вопрос «Это город правдивых?» в любом из этих городов можно получить как ответ «Да», так и ответ «Нет». Но все-таки можно, задав лишь один вопрос и получив ответ, узнать, в каком городе вы находитесь. Вот этот вопрос: «Вы живете в этом городе?» Если вы попали в город правдивых и спрашиваете правдивого, то получите ответ «Да», но тот же самый ответ даст вам и лжец, поскольку он соврет. А в городе лжецов каждый ответит на этот вопрос «Нет».

Представьте себе, что вы встретили трех аборигенов этого острова и спросили одного из них: «Из какого вы города?». Ответ был очень тихим, и вы его не услышали. Тогда вы задали вопрос второму: «Что он сказал?» «Он сказал, что он из города правдивых», — ответил тот. «А вы что услышали?» — обратились к третьему. «Он сказал, что он из города лжецов», — ответил тот. Попробуйте теперь понять, кто из какого города и что сказал первый абориген.
Прочитать остальную часть записи »

Рассмотрим такую задачу: для каких двух натуральных чисел разность их квадратов равна 455? Обозначим одно из чисел через k, а второе через n + k. Разность их квадратов равняется 455, поэтому 2nk + n² = 455. Как найти n и k у удовлетворяющие этому уравнению? Для начала разложим на множители левую и правую части уравнения: n(2k + n) = 5 х 7 х 13. Первое число слева меньше второго, поэтому оно может равняться либо 1, либо 5, либо 7, либо 13. При этом второй множитель равняется соответственно 455, 91, 65, 35. Осталось из полученных результатов найти второе число в каждом из этих четырех случаев. Это сделать совсем просто. Достаточно от второго множителя вычесть первый и результат разделить на 2. Вы догадались почему? Получаем для второго числа значения 222, 43, 29 и 11.

Во многих областях науки, техники и экономики возникают задачи выбора наилучшего варианта среди тысяч других. Такие задачи обычно поручают решать вычислительным машинам, а математик инструктирует ее, как это нужно делать.

На письменном вступительном экзамене в МГУ (физфак) однажды была предложена следующая задача:

«Куплено неизвестное число одинаковых книг и одинаковых альбомов. За литературу было заплачено 10 рублей 56 копеек. Надо найти количество купленных книг, если цена каждой книги более чем на один рубль превышает цену альбома, и также книг куплено на 6 штук больше, чем альбомов?»

Можно записать уравнение и неравенство, а затем пытаться их решать. А можно применить метод перебора. Раз книг куплено больше, чем альбомов, на 6, то книг куплено не меньше 7, а так как цена книги больше чем на рубль превосходит цену альбома, то каждая книга стоит больше рубля. Теперь вспомним, что было заплачено 10 рублей 56 копеек, значит, было куплено или 10, или 9, или 8, или 7 книг. Но число 1056 не делится ни на 10, ни на 9, ни на 7, а на 8 оно делится, значит, было куплено 8 книг и 2 альбома.
Прочитать остальную часть записи »

Очень интересная задача о пятиалтынном была подана в предыдущем посте, здесь рассмотрим еще одну не менее интересную и даже полезную задачу, которая связана с разменом денег.

Данная задача о размене денег связана с деньгами номиналом в 3 и 5 рублей. Вопрос к этой задаче таков: «Какие суммы можно уплатить без сдачи купюрами в 3 и 5 рублей?»

Покупку в один и два рубля «трешками» и «пятерками» не оплатишь, а в три, пять и шесть рублей — можно оплатить. Четырехрублевую и семирублевую покупки снова нельзя оплатить, а восьми, девяти - и десятирублевые покупки можно оплатить этими купюрами, так как 8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 5 +5.

А дальше? Оказывается, что дальше любую сумму денег можно оплатить этими купюрами. Действительно, добавив к полученным трем суммам по «трешке», получим 11, 12 и 13 рублей. Добавив еще по «трешке», получим 14, 15 и 16 рублей и т. д.

Ну а если брать другие купюры? «Пятерками» и «десятками» можно уплатить без сдачи лишь сумму, кратную пяти, вообще если купюры в р рублей и k рублей, и числа р и k имеют общий делитель, отличный от единицы, то ими можно уплатить без сдачи только суммы, кратные этому делителю. Общее утверждение состоит в следующем:

«Если имеется неограниченное количество купюр достоинством в р и k рублей, причем числа р и k взаимно просты, то любую сумму, большую pk-р-k рублей, можно уплатить без сдачи этими купюрами».

В случае «трешек» и «пятерок» получаем число pk-р-k = 15-3-5 = 7.
Прочитать остальную часть записи »

Вопросы о наибольших и наименьших величинах, являются одними из наиболее интересных в чисто математическом отношении (по разнообразию и по остроумию придуманных математиками методов их решения) и в то же время крайне важными по своему практическому, прикладному значению.

Архитектор, проектируя какое-либо здание, стремится затратить на его возведение минимум времени, строительных материалов и рабочей силы и достичь при этом максимальной прочности, освещенности, простора, теплоизоляции и т. д.

Пчела, взявшая каплю меда с цветка, летит к своему улью по прямой, сокращая этим до минимума затрату времени и сил и получая возможность совершить максимум рейсов за день, т. е. собрать максимальное количество меда. А в улье она выстилает соты таким образом, что в данном объеме (улья) умещается максимальное количество ячеек.

Даже в растительном царстве и в так называемой «мертвой» природе мы наблюдаем процессы, способные внушить дикарю идею одушевленности природы. Так, растение пускает в сухой почве свои корни вертикально вниз, «чтобы» как можно скорее достичь влажного слоя, а подсолнух поворачивается своей головкой к солнцу, «чтобы» получать максимум солнечной энергии. Луч света отражается от зеркала, а бильярдный шар — от борта бильярда по такому закону, который обеспечивает минимум пути между любой точкой падающего и любой точкой отраженного луча или траектории шара.

Пространственные формы, как, например, траектории движений, формы оболочек ит. д., играют наряду со временем, скоростью, массой, работой, энергией и т. д. большую роль во многих проблемах максимально-минимального или, как говорят математики, экстремального (т. е. «крайнего») характера. Часть этих экстремальных вопросов носит чисто геометрический характер, а среди них на первом месте встречаем проблемы изопериметрические или «равно обводные», как писали по-русски еще в середине прошлого столетия. Более подробно о них мы разберем в статье о сути изопериметрических задач.