Интересный размен денег.

В те не столь далекие времена, когда в автобусах, троллейбусах и трамваях стояли кассы, в которые бросали пятаки за проезд, часто можно было видеть пассажира, бросившего в кассу 10, 15 или 20 копеек и собирающего пятаки у новых пассажиров, чтобы получить сдачу. Эта ситуация породила немало математических задач. Вот простейшая:

Входят в автобус двое. Ни у первого, ни у второго нет 5 копеек, но есть монеты в 10, 15 и 20 копеек. Как им расплатиться за проезд?

Интересный размен денегПо ходу дела хотим напомнить, что в русском языке эти монеты имеют специальные названия: гривенник, пятиалтынный и двугривенный. С гривенником и двугривенным более-менее все понятно, а слово «пятиалтынный» происходит от названия монеты в три копейки — «алтын». Заодно напомним, что две копейки назывались «семишник», а полкопейки — «грош». Правда, к слову сказать, нынешний рубль не стоит и старого гроша.

Но вернемся к задаче. Вы, наверное, уже успели ее решить. Ясно, что один из пассажиров должен положить в кассу гривенник и получить от другого пятак. Но у того нет пятака, однако он теперь имеет дело не с кассой, которая лишь «глотает» монеты, а с человеком, который может дать сдачу. Дав ему 15 или 20 копеек и получив соответственно 10 или 15 копеек сдачи, второй пассажир, как и первый, может со спокойной совестью оторвать билет в кассе.

А если пассажиров трое и ни у одного из них опять нет 5 копеек? Но и здесь выход из положения есть. Просто один из пассажиров бросает в кассу свои 15 копеек, а двое других расплачиваются, как и в предыдущем случае, только 10 копеек они отдают первому, а не бросают в кассу.

Теперь становится ясным, что любое количество пассажиров смогут расплатиться за проезд, не имея пятаков, а располагая лишь монетами в 10 и 15 копеек. Они разбиваются на пары, а если их нечетное число, то образуется одна тройка пассажиров и уплата производится так, как было описано выше.

Каким наименьшим числом 15 - копеечных монет можно при этом обойтись в случае n пассажиров? Мы показали, что при четном количестве пассажиров достаточно, чтобы у половины пассажиров нашлось бы хотя по одному пятиалтынному, а для нечетного их числа — (n+1)/2 пятиалтынных. Покажем, что меньшим количеством не обойтись. Действительно, чтобы заплатить пятак, пассажир должен либо отдать 15 копеек, либо получить 15 копеек. В случае четного числа пассажиров, участвующих в процедуре, число пассажиров, уплативших за проезд пятиалтынным, равно числу пассажиров, получивших такую монету, поэтому число 15 - копеечных монет, перешедших из рук в руки, равно n/2. В случае нечетного числа пассажиров в кассу должно попасть нечетное число раз по 5 копеек, поэтому туда должен попасть хотя бы один пятиалтынный. Если теперь считать кассу еще одним пассажиром, которому нужно дать пятиалтынный, то получим пассажиров — четное число, и количество пятиалтынных, перешедших из рук в руки, будет равно (n+1)/2. Доказательство окончено.

Эту тему можно продолжить, рассматривая, например, случай с монетами достоинством лишь в 15 и 20 копеек. Попробуйте разобраться с ним сами. А мы еще рассмотрим немного другую задачу связанную с разменом денег, но уже в следующей статье.

Если вы легко решаете подобные задачи, то можете еще пройти IQ тест без смс, очень интересно и полезно для мозга.

Поделиться с друзьями:

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *