Математика, решение онлайн!!!

Ноябрь 2011

Итак, судя с данных таблицы, полученных в предыдущей статье, будем иметь последовательность пар чисел: (0, 0), (1, 2), (3, 5), (4, 7), (6, 10), (8, 13), (9, 15), (11, 18), (12, 20), (14, 23), (16, 26), ... Закономерность никак не просматривается, и никаких идей не приходит в голову.

Оказывается, что распределение чисел в парах связано с загадочными числами Фибоначчи, о которых я уже рассказывал. Это числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., каждое из которых равно сумме двух предыдущих.

Мы знаем о десятичной и двоичной системах счисления и можем представить систему счисления с любым другим основанием, а теперь давайте познакомимся с фибоначчиевой системой счисления. Всякое натуральное число π можно представить в виде суммы чисел Фибоначчи. Сначала возьмем наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее π, и вычтем его из π. Потом возьмем наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее этой разности, и вычтем его из этой разности, повторим такую процедуру с новой разностью и т. д. Например, 17 = 13 + 3 + 1.
Прочитать остальную часть записи »

Эта игра пришла к нам из Китая. Для нее не нужно доски, фигур или других приспособлений. Достаточно набрать немного камешков и разложить их в две кучки. Теперь двое играющих по очереди берут камешки из этих кучек. Разрешается взять за один ход любое количество камешков из одной кучки или из двух кучек, но поровну. Выигрывает тот, кто своим ходом забирает все оставшиеся камни.

Несмотря на простоту условий этой игры, указать, кто выигрывает при конкретном наборе камешков, и найти выигрывающую стратегию в этой игре довольно сложно. Но попытаемся это сделать. Если в одной из кучек вообще нет камней, то, очевидно, выигрывает начинающий — он забирает всю вторую кучу камней. То же самое происходит, если в кучах одинаковое количество камней.

Результаты анализа ситуаций в игре мы будем заносить в таблицу. Набору камешков, скажем, 6 в первой кучке и 8 во второй в таблице соответствует клетка, стоящая на пересечении строки с цифрой 6 и столбца с цифрой 8. Если при некотором наборе камешков выигрывает тот, кто должен ходить, то мы ставим в этой клетке плюс, а если его партнер, то — минус.

Каждую клетку будем обозначать соответствующей парой чисел. Например, упомянутую клетку будем обозначать (8, 6). В клетке (0, 0), очевидно, следует поставить минус, а в клетках (k, 0), (0, k) и (k, k) для всех k, больших нуля, следует поставить плюс. Таблица начала заполняться.

Рассмотрим клетки (1, 2) и (2, 1). Любой ход из этих наборов ведет в клетку, уже помеченную знаком плюс, поэтому в этих клетках следует поставить минус, а знаком плюс нужно пометить все клетки, из которых за один ход можно попасть в клетку (1, 2) или (2, 1). Прочитать остальную часть записи »

Якоб Штейнер (Jacob Steiner, 1796—1863) несколько раз читал в Берлинском университете курс, посвященный «максимальным и минимальным свойствам фигур в плоскости, на сфере и в пространстве», а в 1841 году (год спустя после смерти Люилье, прожившего 90 лет) представил Парижской Академии два мемуара под тем же заглавием (на немецком языке).

Не поддерживая непримиримой позиции Люилье, Штейнер считает, как видно из заключительных слов приведенной цитаты, что в столь трудных вопросах вообще необходимо сотрудничество обоих методов. Но при этом синтетический метод представляется ему наиболее пригодным для установления таких основных положений, которые вскрывали бы «истинную природу и действительную причину» максимальных и минимальных свойств и из которых легко вытекала бы система дальнейших предложений. Поэтому в названных мемуарах он пользуется исключительно синтетическими методами, предоставляя анализу способствовать дальнейшему развитию заложенных таким образом основ.

В результате своих длительных исследований вопроса о максимумах и минимумах в геометрии, Штейнер убедился в невозможности установить единый принцип, одинаково применимый ко всем вопросам в этой области. «Никакая другая ветвь геометрии,— говорит ученый,— не сопряжена, по-видимому, со столькими трудностями, как эта: когда кажется, что нашел уже прямой и общий метод, неожиданно наталкиваешься наряду с очень простыми проблемами на такие, решить которые этот метод почти или даже совершенно бессилен; и успех до такой степени зависит здесь от выбора точки зрения, что часто трудности, кажущиеся непреодолимыми при пользовании одними средствами, исчезают, лишь только подойдешь к ним с другими приемами, даже тривиальными в известном отношении».

В упомянутых двух мемуарах Штейнер излагает те пять методов, к которым он пришел в результате своих исследований. Хотя эти пять методов отличаются лишь ходом рассуждений, приводящих к одной и той же «главной» теореме (так геометр называет теорему о круге как о фигуре, наибольшей по площади из всех плоских фигур одинакового периметра), которая служит основой для всех дальнейших выводов,— изложение в мемуарах математика всех, пяти методов объясняется не тщеславным его желанием похвастаться своей изобретательностью, а глубокими внутренними причинами. Дело в том, что невозможно, говорит он, обойтись без общего сотрудничества этих методов: каждый из них легко приводит к таким теоремам, доказательство которых лишь с чрезвычайным трудом удалось бы найти, если пользоваться остальными четырьмя методами.
Прочитать остальную часть записи »

Увлеченные успехами дифференциального и вариационного исчислений, математики совсем забросили к концу XVIII столетия старый евклидов или синтетический метод решения экстремальных задач вообще и изопериметрических в частности, в угоду новому вычислительному или аналитическому методу. Такое тяготение к аналитическим методам в истории новой математики можно, по-видимому, объяснить тем, что анализ дает часто готовые приемы для решения обширных групп задач и, таким образом, позволяет как бы механизировать процесс решения проблем известного рода, тогда как методы синтетические большей частью дают только общую руководящую идею, а исследование каждой отдельной проблемы с ее помощью требует известной степени математической изобретательности.

Но время от времени и в позднейшей истории математики появляются геометры с исключительной склонностью к синтетическому мышлению и творчеству. Одним из таких геометров был женевский математик Люилье (Simon Antoine Jean Lhuilier, 1750—1840). В 1782 г. он издал (в Варшаве) на латинском языке книгу под названием: «Геометрическое исследование взаимоотношений между площадью и контуром фигур, или о наибольших или наименьших; часть I, элементарная», а в 1789 г. вышла в свет на французском языке его же «Полигонометрия» (т. е. теория решения многоугольников, по аналогии с тригонометрией — теорией решения треугольников), содержащая в виде приложения «Краткое изложение элементарной изопериметрии».

Вот какую характеристику этих работ Люилье дает в своем мемуаре другой геометр-синтетик, гениальный Штейнер: Прочитать остальную часть записи »

В XVII веке сильно возрос интерес к задачам на отыскание максимальных и минимальных значений вообще (связанным с задачей о проведении касательной к данной кривой). Попытки решения этого рода задач при помощи незадолго до того оформившейся алгебры и созданной в ту же эпоху аналитической геометрии привели к понятию производной, к созданию дифференциального исчисления (Лейбницем и, в иной по внешности форме, Ньютоном), которое выработало определенные приемы решения множества экстремальных задач, очень быстро и легко приводящие к цели.

Несколько позже для решения более сложных задач, в которых искомыми являются кривые или поверхности, обладающие определенными экстремальными свойствами, были придуманы новые приемы, пользовавшиеся интегральным исчислением, что привело к созданию во второй половине XVIII столетия специальной дисциплины для решения такого рода вопросов, так называемого «вариационного исчисления» (Эйлер и Лагранж).

К эпохе создания дифференциального исчисления относится также появление одной из изящнейших задач теории изопериметров — так называемой «проблемы шарнирного многоугольника», в которой из данных по величине (и порядку) отрезков (сторон) требуется составить многоугольник с наибольшей площадью, меняя по произволу углы между смежными сторонами (которые можно мыслить или реализовать в виде стержней, скрепленных шарнирами в вершинах многоугольника). Эту задачу впервые решил женевский математик Крамер (Gabriel Cramer, 1704—1752), поэтому ее часто называют «задачей Крамера».
Прочитать остальную часть записи »

Учитывая огромную роль вопросов о максимальных и минимальных величинах, можно без риска ошибиться a priori утверждать, что уже с незапамятных времен люди должны были искать решения таких вопросов, в том числе и основных изопериметрических проблем. Вначале метод этих поисков должен был быть чисто эмпирическим, но с развитием геометрии должна была развиться потребность проверить найденные решения путем строгих умозаключений в духе евклидовых доказательств.

Так, уже в древней Греции было известно, что круг имеет большую плошадь, чем все другие фигуры, имеющие одинаковый с ним периметр, а шар имеет наибольший объем среди всех тел с тою же поверхностью; некоторые ставят даже в связь с этим известное изречение Пифагора: «прекраснейшее из тел есть шар, прекраснейшая из плоских фигур — круг». Позже вопросы этого рода, несомненно, получили значительное развитие, так как уже в начале второго века до нашей эры греческий геометр Зенодор (живший вскоре после Архимеда и Аполлония) написал специальный трактат «О фигурах, имеющих равную периферию». К сожалению, это сочинение утеряно, но у Паппа и Теона сохранилось 14 предложений, заимствованных из него. Среди них, кроме упомянутых теорем о круге и о шаре, имеются, между прочим, следующие теоремы: «При одинаковом числе сторон и равных периметрах у правильного многоугольника площадь больше, чем у неправильного»; «Из двух правильных многоугольников с равными периметрами тот больше, у которого больше сторон»; «Из двух треугольников с общим основанием и равными периметрами меньше тот, которому принадлежит наибольший из четырех углов при основании».

В средние века никто не продолжал работ Зенодора, и в книгах того времени лишь иногда упоминаются некоторые из его результатов, например, у Фомы Брадвардина, в его Geometria speculativa.

В предыдущей статье мы уже узнали способ решения арифметических ребусов, а сегодня рассмотрим другой их вид, для Я^С = СЕМЬЯ подход к решению совсем другой. Посмотрим, какое наименьшее значение для нашей С возможно. Уже понято, что для того чтобы получилось пятизначное число при наименьшем С, цифра Я должна быть наибольшей, т. е. Я = 9. Но при этом видим, что 9 нужно возвести в пятую степень; получаем 59 049. Казалось бы, мы уже получили то загадочное число, что мы искали, поскольку оно начинается с той же цифры, что и наша степень, то есть: 9. Однако в первом и четвертом разрядах этого числа стоят одинаковые цифры, а в данном слове СЕМЬЯ на указанных местах стоят разные буквы. Соответственно делаем вывод, что этот вариант не проходит, и нужно продолжать перебор вариантов. Кстати, такой перебор нужно было делать и в том случае, если бы мы получили верное решение, потому что решить задачу — значит найти все ее решения.

Теперь на единичку опустимся и испробуем в качестве Я число 8, при этом перебор по С можно начинать с числа 5, так как мы знаем, что даже для большего основания нам понабилось ее перемножать, аж пять раз, а тут мы его еще и понизили. Число 8⁵ = 32 678, а шестая степень восьмерки уже шестизначное число. Пусть Я = 7, тогда его следует возводить в степени, начиная с шестой. 7⁶ = 117 649 —уже шестизначное число, а 7⁵ = 16 807. Пусть Я = 6, тогда С не равняется 6 и нужно испробовать 6⁷ = 279 936. Попытка оказалась неудачной. Возьмем Я = 5. 5⁶ = 15 625, а 5⁷ = 78 125. Эта попытка оказалась удачной. Следующие степени числа 5, очевидно, не годятся. Возьмем Я = 4. 4⁷ = 16 384, 4⁸ = 65 536 и получаем, что в этом случае нет решений. Для Я = 3 мы имеем 3⁹ = 19 683. Теперь уже очевидно, что найденное нами решение 5⁷ = 78 125 является единственным. Вот таким методом, может медленно, но зато уверено решаем все подобные упражнения!
Прочитать остальную часть записи »

Разгадывание шифров нашло свое воплощение в одном из видов математических головоломок — арифметических ребусах. В этих задачах требуется заменить буквы цифрами так, чтобы получаемое равенство оказывалось верным. При этом одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, разным — разные. Таким образом, это дешифровка наоборот.

Рассмотрим решение одной из таких головоломок.
КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.
Сначала обратим внимание на букву А. Из условия следует, что цифра, скрывающаяся под буквой А, вновь оканчивается на А, если ее утроить. Таким свойством обладают лишь две цифры: 0 и 5.

Теперь обратимся к букве Н. Из рассмотрения первой цифры суммы заключаем, что Н больше трех, значит, нам надо перебрать шесть значений для Н от 3 до 9. При этом обратим внимание на сложение в четвертом разряде. Сумма трех Н и, может быть, еще одной или двух единиц, переходящих из предыдущего разряда, должна равняться либо нулю, либо пяти.

• Если Н = 3, то А = 0 и единица переходит в пятый разряд, и мы получаем в пятом разряде суммы число, большее трех.
• Если Н = 4, то 3*Н = 12, и, даже добавляя одну или две единички, мы не получим в четвертом разряде суммы ни 0, ни 5.
• Если Н = 5, то А не равняется 5, а равняется 0, а в этом случае мы не сможем получить в четвертом разряде суммы 0.
• Если Н = 6, то А = 0, в пятый разряд переходит 2, поэтому 2 + 3*К = 6, что невозможно при целом К.
• Если Н = 7, то 3*Н = 21 и мы не сможем получить в четвертом разряде суммы ни 0, ни 5.

Прочитать остальную часть записи »