Физические иллюстрации пространственной изопериметрии.

Физика дает нам иллюстрации теорем не только двумерной, но и трехмерной изопериметрии. Всем известен знаменитый опыт французского физика Плато: более или менее значительное количество растительного масла, помещенное в водный раствор спирта такого же удельного веса, принимает в нем точную сферическую форму, при которой поверхность масляной массы при постоянстве ее объема получает наименьшую площадь. Впрочем, здесь присоединяется еще и требование равенства давлений во всех точках поверхности, а эти давления обусловливаются величиной кривизны поверхности в данной точке.

поверхность катеноидаМыльный пузырь тоже имеет форму шара, т. е. имеет наименьшую поверхность при данном объеме заключенного внутри воздуха. Описание соответствующих опытов можно найти в книжечке: Бойс, Мыльные пузыри, Научное книгоиздательство, Ленинград, 1922. Если же коснуться его двумя смоченными параллельными проволочными кольцами и затем несколько раздвинуть последние, то мыльная пленка принимает красивую форму так называемой поверхности катеноида — поверхности, получаемой от вращения цепной линии (имеющей форму свободно висящей нити, закрепленной в двух точках) вокруг прямой, лежащей в ее плоскости. В вариационном исчислении доказывают, что катеноид представляет минимальную поверхность, опирающуюся на данные две окружности. Природа в один миг решает эту сложную математическую задачу: при какой форме поверхность, соединяющая два параллельных кольца с центрами на прямой, перпендикулярной к их плоскостям, имеет наименьшую площадь?

Погружая в мыльный раствор проволочные каркасы различной формы и осторожно извлекая их из него, получаем прекрасные фигуры, у которых физики подметили ряд удивительных закономерностей, касающихся числа ребер, сходящихся в одной точке, и т. д. Все эти законы связаны с тем, что получаемые формы представляют решения соответствующих задач: натянуть на каркас данной формы мыльную пленку (или, выражаясь геометрически, поверхность), имеющую возможно меньшую площадь.

От этих физических иллюстраций перейдем к техническим приложениям теорем пространственной изопериметрии уже в следующей статье.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>