Математика, решение онлайн!!!

Февраль 2012

Графические изображения качеств служат не только для наглядного изображения зависимостей, но и для исследования их свойств. В части II своего трактата Орем особо рассматривает возможные случаи движения или течения. Здесь введено понятие об ускорении (velocitatio) как интенсивности скорости, причем само ускорение может быть как равномерным, т. е. постоянным, так и неравномерным различных видов.

Орем геометрически исследует движение в случае равномерно-неравномерной скорости, т. е. равномерного ускорения, и доказывает, что можно приравнять его к движению равномерному движению со средней скоростью, т. е. теорему о том, что средняя скорость равномерно ускоренного движения приравнивается к средней арифметической начальной и конечной скоростей. Для этого он также доказывает равносильность площадей прямоугольного треугольника abc или трапеции abdc и прямоугольника abgf с высотой, которая равна полусумме оснований трапеции или половине высоты треугольника. Где треугольник и трапеция служат изображениями равномерноускоренного движения, скорость которого в конечной точке соответственно равна нулю или отлична от нуля, а прямоугольник — изображением равномерного движения со скоростью, равной скорости предыдущего движения в среднее мгновение. Орем не дает определения средней, или, по его выражению, суммарной, скорости и не говорит прямо, что площади указанных фигур выражают пройденный путь, но это естественно следует из его рассуждений и даже лежит в их основе. Нельзя не указать вместе с тем разительное сходство выводов математика и более подробного доказательства той же теоремы, данного 250 лет спустя (в 1638 г.) Галилеем.
Прочитать остальную часть записи »

Вначале Орем говорит о качествах, интенсивности которых распределены по точкам линии — одномерного континуума, это так называемые линейные качества. Но существуют еще «плоскостные» и «телесные» качества, распределяемые по точкам двумерных или трехмерных континуумов. Плоскостные качества изображаются телами с плоскими основаниями. Вопрос об изображении телесных качеств, естественно, представляет для Орема чрезвычайную трудность, и здесь текст его, в котором можно усмотреть некий подход к мысли о воображаемом пространстве четырех измерений, недостаточно ясен.

Мы рассмотрим только учение о линейных качествах, прежде всего их классификацию. Орем выделяет три основных типа качеств.

1. Равномерные, с постоянной интенсивностью или широтой, зависимость между интенсивностью и экстенсивностью изображается прямоугольником, т. е. линия интенсивности — отрезок прямой, параллельной линии долгот.
2. Равномерно-неравномерные, у которых разности широт любых пар точек пропорциональны соответственным разностям долгот, зависимость между интенсивностью и экстенсивностью изображается прямоугольным треугольником или четырехугольником с наклонной верхней стороной в зависимости от того, пересекает линия интенсивности прямую долгот или нет, т. е., как говорит Орем, кончается ли качество на «неградусе» или на градусе (ч. I, гл. XI).
3. Неравномерно-неравномерные — все остальные. Их Орем характеризует общим образом чисто отрицательно, как качества, у которых отношения разностей широт пар точек не равны отношениям разностей соответствующих долгот. Неравномерно-неравномерные качества разбиваются на две группы:
   • а) Простые неравномерно-неравномерные, когда линия интенсивности единая и не составлена из нескольких частей. Линия интенсивности может быть «рациональной»—дугой круга или эллипса или «иррациональной»— какой-либо другой кривой, помимо того, она может быть вогнутой или выпуклой. Всего Орем различает четыре рода простой неравномерной неравномерности (ч. I, гл. XIV—XV). Само слово «эллипс» не употребляется, говорится о кривой, у которой высоты пропорциональны высотам дуги круга.
   • б) Сложные неравномерно-неравномерные, получающиеся комбинированием шести предыдущих по два, три, четыре, пяти и шести; таких сочетаний будет 6 +15+ 20+ 15+ 6 + 1 и всего 63. Здесь у Орема появляются и разрывные зависимости в форме ступенчатых ломаных, которые он называет ступенчатыми неравномерностями (difformités gradualis), и линии интенсивности, составленные из двух отрезков, дуг окружностей или эллипсов.

Прочитать остальную часть записи »

Орем существенно развил и учение Суайнсхеда об интенсивности форм. Обширный труд Орема по этому предмету, написанный до 1371, г., сохранился в многочисленных списках под различными заголовками: «О конфигурации качеств» (De configuratione quantitatum), «О равномерности и неравномерности интенсивностей» (De uniformitate et difformitate intensionum), «Трактат о строении сил и мере неравномерностей» (Tractatus de figuratione potentiarum et mensura difformitatum) и др.

Орем придал этому учению большую простоту и наглядность, чем Суайнсхед, благодаря систематическому употреблению геометрических образов величин и их взаимозависимостей. Значение геометрических изображений Орем подчеркивает сразу в первой главе части I трактата. Всякая поддающаяся измерению вещь, говорит он, кроме чисел, изображается в виде непрерывной величины, и для измерения поэтому нужны точки, линии, поверхности, в которых, согласно Аристотелю, первично обнаруживается мера и отношение; в прочих вещах мера или отношение познаются посредством умственного соотнесения этих вещей с точками, линиями, поверхностями. Интенсивности качества непрерывных измеримых величин находятся в зависимости от их экстенсивностей, своего рода их протяженностей (от extensio — протяжение), как, например, скорость движения тела от пройденного пути или времени движения. И поскольку среди различных видов континуума мы легче и проще всего постигаем величины и отношения линий (прямых отрезков), то интенсивности следует изображать линиями, приложенными в точках прямой, характеризующих экстенсивности. Первые отрезки Орем называет широтами (latitudo) качеств или форм, а отрезки, в концах которых прилагаются широты,— долготами (longitudo). Мера качества иногда называется также градусом (gradus — ступень, степень); «неградус» соответствует нулю. Длины широт пропорциональны интенсивностям; проводить их можно в любом направлении, но предпочтительно—перпендикулярно к линии долгот.
Прочитать остальную часть записи »

Подобно Англии, и Франция выдвинула в XIV в. замечательного математика, значительно превосходившего своих современников, магистра Николя Орема (ок. 1323—1382). Орем преподавал в 1348—1361 гг. в одном парижском коллеже, затем жил главным образом в Руане, а с 1377 г. был епископом в Лизье. Орем — чрезвычайно яркий человек, живо откликавшийся на злободневные вопросы своей эпохи. Он был одним из зачинателей научной литературы на французском языке и дал ряд переводов сочинений Аристотеля; по-французски он написал «Трактат о сфере» (Traité de l’espère), в котором весьма обогатил французскую научную терминологию. Он выступал против злоупотреблений церкви, против астрологии и гаданий, хотя сам еще верил в магию. Ряд трудов Орема относится к астрономии и механике.

Для нас прежде всего интересна разработка Оремом теории отношений, которой он посвятил два сочинения: «Трактат об отношениях» (Tractatus proportionum), составленный около 1350 г. и напечатанный около 1500 г. и затем в Венеции в 1505 г. и «Алгоризм отношений » (Algorismus proportionum). В первой части последнего труда Орем вводит наряду с двойными, тройными отношениями четвертные, полуторные и другие дробно-рациональные отношения, которые соответствуют нашим а^1/2, а^1/4, а^3/2 и т. п. Далее, Орем словесно формулирует многочисленные правила операций с дробными отношениями. Во втором и третьем отделах «Алгоризма отношений» даны примеры его использования в задачах арифметики, теории музыки, геометрии. Орем подошел и к понятию иррационального показателя как отношения, «знаменование» которого «невыразимо» или «непознаваемо». Такие отношения, писал Орем, можно заключать между «достаточно близкими» целыми или дробными. Вопрос об арифметическом измерении любых «отношений» был практически решен 250 лет спустя в учении о логарифмах.
Прочитать остальную часть записи »

Синтез кинематической и математической мысли имел в теории калькуляций Ричарда Суайнсхеда основное значение. Плодом его было выделение идеи функциональной зависимости, которая до того существовала только в скрытом виде «Вся кинематика,— замечает Н. Бурбаки, — опирается на интуитивную, а в некотором роде и экспериментальную концепцию изменяющихся во времени величин, т. е. функций времени». Одновременно понемногу вызревает представление о законах природы, как законах функционального типа.

С помощью не всегда ясных рассуждений Суайнсхед анализирует примеры изменения интенсивностей. Анализ этот носит чисто абстрактный характер, и ни исходные посылки, ни результаты не связываются с реальными количественными измерениями, с данными эксперимента или наблюдения. Так, он говорит, что при равномерном росте интенсивности средняя интенсивность на некотором промежутке есть средняя арифметическая начальной и конечной интенсивностей. Говоря об изменении качества, математик иногда пользуется термином «течение (fluxus) качества»; слово «течение» и его модификации впоследствии вошли в литературу по геометрии и исчислению бесконечно малых XVI—XVII вв., особенно в «методе флюксий» Ньютона (ср. современное название «текущие координаты»).

Труд Суайнсхеда издавался трижды: в Падуе около 1477 г., Павии в 1498 г. и Венеции в 1520 г. Имя Суайнсхеда пользовалось известностью еще в XVII в. В двух письмах 1670 и 1696 гг. Лейбниц отзывался о нем, как об одном из первых ученых, применивших математику в физике и введших математику в схоластическую философию.

В одно время со Суайнсхедом теорию калькуляций в Оксфорде успешно разрабатывали У. Хейтесбери и Дж. Дамблтон.

В середине XIV в. возникло еще одно замечательное направление средневековой математики, выступавшее под различными названиями: учение о конфигурациях качества, или о широтах форм, или равномерности и неравномерности интенсивностей и т. д. В этом учении содержатся прообразы идей функциональной зависимости и ее графического изображения,— кристаллизация соответствующих понятий и методов произошла только в XVII столетии.

Истоки этого направления, сложившегося в Оксфорде и Париже, были связаны со спорами о логико-философском понятии «формы» и ее изменениях, восходящем к Аристотелю. Шотландский философ-номиналист Дунс Скотт (ок. 1265—1308), названный Марксом «первым выразителем материализма в Средние века», понимал под формой как бы чувственно воспринимаемое качество вещей, существующих ранее общих понятий. Выступая против так называемых реалистов, последователей Фомы Аквинского (1225— 1274), он очень активно защищал множественность форм, их изменчивость, отличая при этом интенсивность, или усиление (intenslo), формы от ее ремиссии, или ослабления (remissio).
Прочитать остальную часть записи »

Крупнейшим математиком из движения коссистов был уроженец Вюртемберга Михаэль Штифель (1486—1567). В молодости монах-августинец примкнул к реформации, возглавляемой принадлежавшим к тому же ордену Лютером, и стал протестантским пастором. Вначале Штифель занимался мистическими изысканиями по поводу чисел, встречающихся в священных книгах, и «вычислил», что 19 октября 1533 г. будет конец мира. После того как предсказанный им конец мира не состоялся, он, видимо желая найти причину своей ошибки, занялся математикой всерьез и вскоре сделался одним из крупнейших ученых своего времени. Штифель написал на латинском языке «Полную арифметику» (Arithmetica integra, Norimbergi, 1544) и на немецком языке «Немецкую арифметику» (Deutsche Arithmetik, Nürnberg, 1545) и «Алгебру Кристофа Рудольфа с прекрасными примерами алгебры, улучшенную и весьма увеличенную Михаэлем Штифелем»; последняя книга представляла собой переработку учебника Рудольфа, добавления к которому превосходили оригинальный текст.

В «Полной арифметике» Штифель пришел к идее многомерного обобщения куба. Определив геометрическую прогрессию 1, а, а2, а3, ..., он говорит: «Такие прогрессии называются по истинным геометрическим прогрессиям в собственном смысле слова, в которых первой воображается точка как начало линий. Второй проводится линия (длинная или короткая). Третьей строится плоская квадратная фигура, называемая по мере проведенной линии по длине и ширине. Четвертым следует куб, для которого проведенная линия является кубическим корнем или мерой по всем трем его измерениям — длине, ширине и толщине. А дальше геометрическая прогрессия не переходит к другим большим измерениям. Поэтому всякую геометрическую прогрессию переводят в арифметику: единица для точки, первое число — для линии, второе число — для квадратной плоской фигуры и третье число — для кубического тела. Если в арифметике мы видим, что нам разрешается сочинять многие вещи, даже если они совсем не имеют формы, в геометрии не разрешается предположить телесные линии и поверхности и выйти за пределы куба, как если бы было больше, чем три измерения, так как это было бы противоестественно. В этом случае геометрическая прогрессия шла бы дальше и дальше без всякой цели и конца, куб полагался бы за телесную точку, за которой полагали бы телесную линию, за ней — телесную поверхность, а за ней полагали бы куб, за которыми шли бы дальше, как сейчас указано, но не останавливаясь. Но следовало бы сделать здесь доброе снисхождение из-за красивого и чудесного применения алгебры».
Прочитать остальную часть записи »

И так, немного материала для школьников, как бы этого не хотелось, но скоро очередное ЕГЭ, которое надо сдать на лучший балл, если хотите ещё куда-то поступить. Ну, или хотя бы вообще сдать, для тех, у кого вообще нелады с математикой. Именно поэтому я решил вас познакомить с Александром и Натальей Крутицких, которые от всей души готовы вам помочь в этом не легком деле.

Как вы уже, наверное, знаете, для того, чтобы в прошлом году набрать проходной бал на ЕГЭ по математике и получить долгожданный аттестат, было необходимо просто решить любые пять задач из части "В", на ваше усмотрение. В этом же году произошли некоторые изменения, добавилось много задач по геометрии, а также задачи по теории вероятностей. И теперь в части "В" не 12, а уже 14 задач. НО! В 2012 году вы должны набрать все те же обязательные 24 балла!!! Ну, а это по-прежнему 5 задач части "В".
Прочитать остальную часть записи »