Магические многогранники

Очевидно, что нет предела комбинаторным задачам, в которых необходимо маркировать ребра, вершины или грани различных многогранников так, чтобы получались магические константы, причем самым неожиданным образом. Многие из этих задач могут быть переведены в эквивалентную задачу с магическими звездами. Например, такая. Какие из пяти правмагические квадратыильных геометрических тел можно сделать магическими, промаркировав их ребра так, чтобы сумма чисел в вершинах была одинакова? Причем должно выполняться еще одно условие — числа должны представлять собой последовательный ряд. Легко увидеть, что это не тетраэдр. Об этом вы можете почитать в книге Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American («Шестая книга по математическим играм от журнала Scientific American»). Может быть, это куб? У куба 12 ребер (см. рисунок слева). Отметьте 12 черных точек в вершинах октаграммы (справа). Поскольку через каждую точку проходят две линии, константа должна быть равна (2х78)/8, или 19,5.

Это число не является целым, так что здесь ответа искать не стоит. Однако мы можем получить неполноценное решение (не удовлетворяющее последнему условию) с наименьшей магической постоянной 20 и наименьшим максимальным числом 13, промаркировав кружочки (и эквивалентные ребра куба), как показано на рисунке.

Поскольку октаэдр дуален кубу, это приводит к автоматическому решению задачи о маркировке ребер октаэдра различающимися непоследовательными ненулевыми положительными целыми числами, сумма которых вокруг каждой грани дает магическую постоянную, причем наименьшую.

Как мы уже видели, грани октаэдра можно промаркировать последовательными целыми числами таким образом, чтобы его вершины стали магическими. Для икосаэдра и додекаэдра магическая постоянная получается дробной, так что они не могут быть решением задачи. Поскольку все многогранники имеют дуальную пару, то среди них такого, который бы удовлетворял условиям близкой задачи (целые, ненулевые последовательные числа, но с магическими гранями), не существует.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>