Магические звезды

гексаграммаПри переходе к гексаграмме ситуация становится более интересной. Эта фигура довольно древняя. Когда-то она называлась гексаграмма (hexagram), hexalpha, соломонова печать и звезда Давида (см. рисунок). Поскольку линий теперь шесть и каждую пару линий объединяет одна общая вершина, а также с учетом того, что числа от 1 до 12 дают в сумме 78, мы получаем магическую константу, равную (2х78)/6, или 26. Как показывает иллюстрация, магическая граф гексаграммыгексаграмма существует. Задача подсчета всех возможных магических гексаграмм, без учета поворотов и отражений, не является тривиальной.

Один из способов получения новой гексаграммы состоит в том, чтобы преобразовать гексаграмму в дуальный граф (см. второй рисунок слева), цифры на линиях которого сходящиеся в вершинах, соответствуют рядам магической гексаграммы. Теперь становится очевидным, что этот граф топологически эквивалентен скелету октаэдра (справа), одного из пяти тел Платона. Этот восьмигранник (октаэдр) мы можем произвольным образом повернуть, а также зеркально отразить. Затем соответствующим образом перенесем цифры обратно на гексаграмму (картирование ребер происходит в соответствии с начальной нумерацией). Таким образом, мы получаем новое расположение цифр на гексаграмме.

Для получения дополнительных решений можно обратиться и к другим преобразованиям гексаграммы, не связанным с вращением или отражением октаэдра. Кроме того, магическая звезда имеет своеобразное «дополнение», которое можносептаграмма получить, заменив каждое число на его разность с (n+1), где n — наибольшее из чисел. Итак, для гексаграммы существует 80 различных решений, 12 из которых обладают тем свойством, что сумма внешних вершин дает магическую постоянную.

октаграммаМожно ли в септаграмме, или семиконечной звезде, разместить числа от 1 до 14, чтобы эта звезда стала магической? Да, и я предлагаю читателю самому показать, как самым элементарным способом найти одно из его 72 решений. Его магическая постоянная равна (2х105)/7, или 30.

Лучший способ решить эту задачу — это нарисовать звезду крупным планом, а цифры записать на вырезанных кружочках. Перемещая кружочки, можно методом проб и ошибок найти решение. Скажу сразу, что этот процесс захватывающий и вам трудно будет остановиться, пока вы не получите решения. Один пример решения изображен на рисунке справа.

Одно из решений для октаграммы, или восьмиконечной звезды, показано на следующем рисунке. Обратите внимание на то, что магическую постоянную (34) также дает сумма четырех углов каждого из двух больших квадратов. Верхняя правая часть рисунка слева показывает соответствующий граф. Октаграмма имеет 112 решений.

Так что, если вы найдете еще несколько из этих 112-ти решений, то это здорово поспособствует развитию памяти, улучшению логического мышления и усовершенствует ваши математические знания.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>