Сколько оборотов сделает монета?

В случае с 9 монетами монетка сделает ровно пять оборотов. Если же монетка будет катиться внутри цепи, она сделает ровно один оборот. Эта величина тоже не зависит от формы цепи. Я предлагаю читателю доказать (для этого достаточно самой элементарной геометрии), что для любого количества монеток (n>2) количество оборотов монетки, катящейся по внешнему периметру замкнутой цепи, постоянно.

Сделав это, вы моментально сможете доказать, что для монетки, катящейся внутри замкнутой цепи из n монет (n>6), можно получить столь же простую формулу, выражающую количество оборотов монеты исключительно как функцию n.Сколько оборотов сделает монета

Ответ: Поставленная задача состоит в том, чтобы доказать сначала, что монетка, катящаяся по замкнутой цепи монет без проскальзывания и касаясь каждой монеты, совершает одно и то же количество оборотов, вне зависимости от формы цепи. Докажем это положение для цепи из 9 монет.

Соедините центры монет отрезками, как показано слева на рисунке, чтобы получился девятиугольник. Известно, что сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 360(1/2n-1). Поскольку число вершин n и полный угол 360 градусов, то сумма внешних углов составит З60n-360(1/2n-1), или 360(1/2n+1).

Когда монетка прокатывается вокруг цепи, она на каждой паре монет на месте стыка пропускает две дуги по 1/6 полного круга, что составляет 1/3 полного круга (рисунок справа). Для n монет монетка пропускает n/3  полных круга. Вычитаем эту величину из (1/2n+1) и получаем (1/6n+1). Такова в полных оборотах величина периметра при движении монетки вокруг замкнутой цепи.

Как говорилось выше, монетка поворачивается на два градуса на каждый градус, который проходит по неподвижной поверхности. Поэтому полное число оборотов монетки составит (1/3n+2). Уже очевидно, что это константа, не зависящая от формы цепи. Ведь в любой цепи центры монеток образуют n-угольник. (Эта формула также верна и для вырожденной цепочки из двух монет, чьи центры можно рассматривать как углы вырожденного многоугольника.) При n=2 она дает 2,6(6) оборотов.

По аналогии можно установить, что число оборотов монеты, катящейся по внутренней стороне замкнутой цепи из n монет, равно (n/3-2). Эта формула имеет смысл только для n>6 и это неслучайно. Попробуйте сами взять меньшую цепочку и поместить внутрь монету и у вас ничего не получится. Для предельного случая (n=6) формула справедливо дает нулевое значение, поскольку центральная монета касается всех шести монет. Легко показать, что для незамкнутой цепи из n монет монетка делает при полном обходе 1/3(2n+4) оборотов. Для проверки подставляем в нее n=2 и получаем те же 8/3 или 2,66... оборотов монетки.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>