Косвенное доказательство в математике.

Нередко в методической литературе можно встретить понимание косвенного доказательства как доказательства от противного. На самом деле это очень узкое толкование этого понятия. Метод доказательства от противного является одним из наиболее известных косвенных методов доказательства, но далеко не единственным. Другие косвенные методы доказательства хотя и часто применяются на интуитивном уровне, но это применение редко осознается, и поэтому эти методы малоизвестны. Обсуждению того, что такое косвенное доказательство и какие косвенные методы широко применяются в математике и ее преподавании, и посвящена эта статья.
Косвенное доказательство в математике
В доказательствах мы часто используем следующие слова:

  • «Допустим, что верно то-то и то-то, и докажем...»;
  • «Допустим, что это неверно, тогда...»;
  • «Пусть х — произвольный элемент данного множества (число, треугольник, функция и Т.Д.). Докажем, что он обладает таким-то свойством»;
  • «Пусть х — какой-нибудь элемент, обладающий данным свойством. Докажем то-то и то-то».

Когда и на каком основании такие словосочетания используются в доказательствах?

Слова «допустим» и «пусть» свидетельствуют о том, что в дедуктивном рассуждении используются допущения. Например, без этих слов, т.е. без допущений, нельзя обойтись в доказательствах методами от противного и разбором случаев. Список методов рассуждений, в которых применяются допущения, этим не исчерпывается, и далее он будет продолжен.

Специфика рассуждений, в которых используются допущения, заключается в том, что вывод в них делается не непосредственно из каких-то предыдущих предложений, а на основании построения некоторых вспомогательных рассуждений, исходящих из промежуточных допущений. Поэтому такие рассуждения называют косвенными (непрямыми) рассуждениями, а соответствующие методы доказательства — косвенными методами. В прямых рассуждениях, в отличие от косвенных, вывод делается непосредственно из предшествующих членов рассуждения - посылок.

Итак, особенности прямых и косвенных умозаключений (т.е. элементарных рассуждений) заключаются в следующем. Прямое умозаключение состоит в переходе от одного или нескольких предложений, называемых посылками, к предложению, называемому заключением, непосредственно следующему из них по какому-то прямому логическому правилу. Если посылки прямого умозаключения обоснованы, то и его заключение считается обоснованным. Косвенное умозаключение основано на некоторых вспомогательных рассуждениях, исходящих из вспомогательных допущений. Другими словами, в косвенном умозаключении заключительное предложение является непосредственным следствием из вспомогательных рассуждений (и, возможно, предложений-посылок) по какому-то косвенному логическому правилу.

Средствами математической логики можно точно описать не только прямые, но и косвенные методы рассуждения. Наиболее подходящими для описания косвенных рассуждений являются правила естественного вывода, предложенные немецким математиком-логиком Г.Генценом, учеником Д.Гильберта.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>