Проблема современной теории множеств

В 1963 году математик из Стэнфордского университета Пол Джозеф Коэн, которому тогда было 29 лет, нашел удивительное решение одной из величайших проблем современной теории множеств. Он положительно ответил на вопрос о существовании открытого множества, мощность которого превышает мощность множества целых чисел (счетное множество), но меньше мощности бесконечного множества точек на прямой. Поскольку рассматривались открытые множества (т. е. бесконечные), то здесь можно ввести понятие порядка бесконечности и сказать, что Коэн открыл бесконечность более высокого порядка. Чтобы прояснить суть открытия Коэна, необходимо сказать несколько слов о двух самых низких порядках бесконечности.Георг Кантор

Тот факт, что за пределами бесконечности целых чисел может существовать бесконечность более высокого порядка, установил Георг Кантор. (Бесконечности целых чисел он дал имя «алеф-нуль».) Кантор также установил, что существует бесконечное количество бесконечностей разного порядка. Ведущие математики неоднозначно приняли эту теоретическую работу. Так, Анри Пуанкаре, ни много ни мало, назвал это «канторизмом» — болезнью, от которой математике еще предстоит оправиться.

С другой стороны, Дэвид Гилберт признавал, что «из рая, который создал для нас Кантор, нас уже не изгнать». А Бертран Расселл однажды назвал работу Кантора «величайшим достижением, которым может похвастаться целое столетие». В наши дни о порядках бесконечности думают лишь математики интуиционистской школы и еше пара философов.

Любое открытое множество предметов, которое можно пересчитать, принято называть счетным множеством (в математике оно обозначается Х0, что читается как «алеф-нуль»). Оно заключает в себе нижнюю ступеньку лестницы Кантора — бесконечности «алеф-нуль». Но это не означает, что элементы этого множества можно пересчитать. Просто это множество можно поставить в поэлементное соответствие с множеством натуральных чисел. Например, рассмотрим бесконечное множество простых чисел. Его легко сопоставить с бесконечным множеством целых положительных чисел.

Поэтому простые числа принадлежат уровню бесконечности «алеф-нуль». Эти числа называют «счетным множеством», а само множество — «исчисляемым». Вот здесь мы и сталкиваемся с основным парадоксом открытых множеств. В отличие от них замкнутые (конечные) множества могут быть сопоставлены в поэлементном соответствии лишь частично. Говоря языком математики, если мощности замкнутых множеств различаются, то одно из них является строгим подмножеством другого. С открытыми все иначе. Хотя простые числа — это лишь малая часть множества целых положительных чисел, его все равно можно назвать равномощным по отношению к последнему (тот же алеф-нуль). Точно так же целые числа образуют лишь малую часть рациональных чисел (к ним также относятся и дробные). Однако рациональные числа также формируют бесконечное множество класса алеф-нуль.

Существуют разные способы доказательства равномощности множества рациональных чисел и счетного множества. Наиболее известный метод состоит в привязке чисел (даже целых) в виде дробей к бесконечной квадратной решетке, а затем пересчете узлов решетки по зигзагообразной траектории. Возможна и спиральная траектория, если решетка включает в себя отрицательную область рациональных чисел.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>