Как складывать дроби с разными знаменателями?

Рассмотрим дробь \frac63. Ее величина равна 2, так как \frac63 =6:3 = 2. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? \frac63 \times 2=\frac{12}{6}. Очевидно, величина дроби не изменилась, так \frac{12}{6} как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и Как складывать дроби с разными знаменателями?получить \frac{18}{9}, или на 27 и получить \frac{162}{81}  или на 101 и получить \frac{606}{303}. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что величина дроби не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби \frac{120}{60} (равной 2) разделить на 2 (результат \frac{60}{30}), или на 3 (результат \frac{40}{20}), или на 4 (результат \frac{30}{15}) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу.

Если числитель и знаменатель дроби \frac{1}{3} умножить на 2, мы получим \frac{2}{6}, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа \frac{1}{3} и \frac{2}{6} идентичны. Сформулируем общее правило.

Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.

Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби \frac{126}{189} на 63 и получить дробь \frac{2}{3} с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби \frac{155}{31} можем разделить на 31 и получить дробь \frac{5}{1} или 5, поскольку 5:1=5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1. Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть \frac{273}{1} равно 273; \frac{509993}{1} равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на целые и дробные, поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: \frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}, \frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями. Предположим, нам надо сложить \frac{1}{3} и \frac{1}{5}.

Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби \frac{1}{3} на 5. Получим \frac{5}{15}, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби \frac{1}{5} на 3. Получим \frac{3}{15}, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, \frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить 3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: \frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем \frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}, что равно \frac{55}{12}. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби, ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: \frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12} или 4\frac{7}{12}.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями, которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1 : 3 можно записать как \frac{-1}{3}, а 1 : (-3) как \frac{1}{-3}.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при деле­нии положительного числа на отрицатель­ное в результате мы получаем отрицатель­ные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть

(-1) : 3 = \frac{1}{3} или 1 : (-3) = \frac{1}{-3}. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как \frac{-1}{-3}, а поскольку при деле­нии отрицательного числа на отрицатель­ное число мы получаем положительное число, то \frac{-1}{-3} можно записать как +\frac{1}{3}.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дро­бей. Например, что такое 1- 1\frac13? Пред­ставим оба числа в виде дробей и получим \frac{1}{1}-\frac{4}{3}. Приведем дроби к общему знаменателю и получим \frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}, то есть \frac{3}{3}-\frac{4}{3}, или -\frac{1}{3}.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>