Умножение обыкновенных дробей

В статье "Действия с дробями" мы выяснили, как умножать и делить дроби на целые числа. А как умножить или разделить дробь на дробь?Умножение обыкновенных дробей

Предположим, нам надо разделить \frac13 на 2 части. Все три третьих части вместе составят единицу. Если каждую из этих частей разделить пополам, получим 6 частей, которые вместе также составляют 1. Поскольку каждая из этих меньших частей составляет одну шестую, мы можем утверждать, что одна вторая от одной третьей равна одной шестой. Рассуждая таким же образом, мы можем показать, что одна вторая от одной четвертой равна одной восьмой, а одна третья от одной четвертой – соответственно одной двенадцатой.

Умножение обыкновенных дробей удобно записывать в такой форме, используя знак «х»: \frac13 \times \frac12=\frac16; \frac14 \times \frac12=\frac18; \frac13 \times \frac14=\frac{1}{12}.

Как вы уже заметили, правильный ответ в выше приведенных примерах мы получили при перемножении знаменателей. А как обстоит дело с числителями? На первый взгляд кажется, что числитель не изменяется, но ведь 1х1=1. Поэтому, чтобы ответить на этот вопрос, надо выяснить, как обстоит дело с дробями, числитель которых отличается от 1. Предположим, нам надо разделить 10 на пять равных частей. Каждая часть будет равна одной пятой от 10. Поскольку 10:5=2, следовательно, одна пятая часть от десяти составляет 2. Выражение «одна пятая от десяти» записывается как \frac15 \times 10.

Теперь попробуем представить это выражение в виде дроби. Во первых, \frac15 может быть преобразована в \frac{2}{10}, если числитель и знаменатель дроби умножить на 2. Затем 10 можно представить как \frac{10}{1}. Теперь мы можем сказать, что \frac15 \times 10 —  это то же самое, что \frac{2}{10} \times \frac{10}{1} . Теперь, если мы перемножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, то получим \frac{2 \times 10}{10 \times 1}, то есть \frac{20}{10} или 2, а это именно тот ответ, который мы ожидали получить.

Рассмотрим другой пример. Предположим, при перемножении \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} мы перевели дроби в \frac{4}{12} и \frac{6}{12}, умножив числитель и знаменатель соответственно на 4 и на 6. Теперь мы имеем: \frac{4}{12} \times \frac{6}{12} равно \frac{24}{144}, если при умножении обыкновенных дробей мы следуем схеме «числитель х числитель», «знаменатель х знаменатель». Теперь разделим числитель и знаменатель ответа, \frac{24}{144}, на 24 и получим \frac{1}{6}, то есть тот ответ, который мы считаем верным результатом при перемножении \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}.

При умножении дробей следует помнить, что порядок, в котором перемножаются дроби, не имеет значения. Например, \frac{10}{21} \times \frac{7}{5} это то же самое, что \frac{10}{5} \times \frac{7}{21}. В первом случае мы получаем ответ \frac{10 \times 7}{21 \times 5}, а во втором — \frac{10 \times 7}{5 \times 21}, наконец, в обоих случаях мы получаем результат \frac{70}{105} или (после деления на 35) \frac{2}{3}.

Следует отметить, что второй вариант удобнее. В первом варианте дроби \frac{10}{21} и \frac{7}{5} невозможно сократить, во втором варианте дроби \frac{10}{5} и \frac{7}{21} легко сокращаются. \frac{10}{5} - это \frac{2}{1}, а \frac{7}{21} - это \frac{1}{3}, таким образом выражение \frac{10}{5} \times \frac{7}{21} преобразовалось в \frac{2}{1} \times \frac{1}{3}.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>