Свойства степени с натуральным показателем

В предыдущей статье мы взяли пример 6-4 = (\frac{1}{6})4. Сейчас попробуем продемонстрировать, что такое толкование понятия «экспонента» непротиворечиво. Давайте проверим, равны ли выражения 6-4 и (\frac{1}{6})4? Выражение (\frac{1}{6})4 можно представить в виде 1:64. Но 1 равна 60, таким образом, наше выражение приобретает вид 60:64. Вычитаем экспоненты и получаем 6-4, как и следовало ожидать.Свойства степени с натуральным показателем

А как доказать, что 60 действительно равно 1? Как по вашему, чему равно 36 \times \frac{1}{36}? Очень просто: 36 \times \frac{1}{36}=1, это не вызывает никаких сомнений. Но 36 = 62, тогда, \frac{1}{36}=(\frac{1}{6})2 или 6-2. Теперь выражение 36 \times \frac{1}{36} приобретает вид 62х6-2, и если мы сложим экспоненты, то получим 60, то есть 1.

Разумеется, наши примеры, строго говоря, не являются доказательствами. Математики назвали бы их просто круговыми рассуждениями. (Вот пример такого кругового доказательства. Вы утверждаете: «Кошкой называется любое животное, которое мяукает», и отсюда делаете вывод: «Животное, которое мяукает, называется кошкой».) Тем не менее эти примеры демонстрируют, что система операций с экспонентами является логичной, и все приведенные выше свойства степени справедливы.

Мы можем продемонстрировать это и другим путем, например составив перечень некоторых экспоненциальных чисел. Начнем с иллюстрации хорошо известного определения чисел, которые перемножаются сами на себя.степени чисел

Теперь сравним левый и правый столбики этих выражений, опустив средний столбик, то есть двойки, перемноженные сами на себя. Мы видим, что при уменьшении показателя степени на единицу результат уменьшается вдвое.

Давайте продолжим этот столбик вниз, в направлении уменьшения показателя степени, и получим:степени

Вы видите, что, когда экспонента меньше 2, срабатывает та же самая зависимость, причем аналогичное правило справедливо при любом основании экспоненциального выражения. Вы можете легко показать, что в случае экспоненциального числа с основанием 3 уменьшение экспоненты на 1 приводит к уменьшению результата в три раза, а в случае экспоненциального числа с основанием 6 уменьшение экспоненты на 1 приводит к уменьшению результата в шесть раз. Но при любом основании общее правило будет справедливо.

Все вышесказанное означает, что у нас расширяются возможности для замены умножения на сложение. Теперь мы можем перемножить, например \frac18 на 1024 при помощи экспонент.

Теперь мы знаем, что бывают как положительные, так и отрицательные экспоненты, и умеем с ними обращаться, также вы всегда можете воспользоваться таблицей степеней натуральных чисел от 2 до 25 по алгебре.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>