Рациональные и иррациональные числа

Ранее мы уже показали, что 1\frac25 - близко к \sqrt2. Если бы оно точно равнялось \sqrt2, задача была бы решена. Тогда соотношение - \frac{1\frac25}{1}, которое можно превратить в соотношение целых чисел \frac75, умножив верхнюю и нижнюю части дроби на 5, и было бы искомой величиной.Рациональные и иррациональные числа

Но, к сожалению, 1\frac25 не является точной величиной \sqrt2. Более точный ответ 1\frac{41}{100}, дает нам соотношение \frac{141}{100}. Еще большей точности мы достигаем, когда приравниваем \sqrt2 к 1\frac{207}{500}. В этом случае соотношение в целых числах будет равно \frac{707}{500}. Но и 1\frac{207}{500} не является точным значением корня квадратного из 2. Греческие математики потратили массу времени и сил, чтобы вычислить точное значение \sqrt2, но это им так и не удалось. Они не смогли представить соотношение \frac{\sqrt2}{1} в виде соотношения целых чисел.

Наконец, великий греческий математик Евклид доказал, что, как бы ни увеличивалась точность подсчетов, получить точное значение \sqrt2 невозможно. Не существует такой дроби, которая, будучи возведена в квадрат, даст в результате 2. Говорят, что первым к этому заключению пришел Пифагор, но этот необъяснимый факт настолько поразил ученого, что он поклялся сам и взял со своих учеников клятву хранить это открытие в тайне. Однако, возможно, эти сведения не соответствуют действительности.

Но если число \frac{\sqrt2}{1} не может быть представлено в виде соотношения целых чисел, то и никакая дробь, содержащая \sqrt2, например \frac{\sqrt2}{2} или \frac{4}{\sqrt2} также не может быть представлена в виде соотношения целых чисел, поскольку все такие дроби могут быть преобразованы в \frac{\sqrt2}{1}, умноженное на какое нибудь число. Так \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{1} \times \frac12. Или \frac{\sqrt2}{1} \times 2=2\frac{\sqrt2}{1}, что можно преобразовать, умножив верхнюю и нижнюю части на \sqrt2, и получить \frac{4}{\sqrt2}. (Не следует забывать, что независимо от того, что представляет собой число \sqrt2, если мы умножим его на \sqrt2, то получим 2.)

Поскольку число \sqrt2 нельзя представить в виде соотношения целых чисел, оно получило название иррационального числа. С другой стороны, все числа, которые можно представить в виде соотношения целых чисел, называются рациональными.

Рациональными являются все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные.

Как оказалось, большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Рациональные квадратные корни есть только у чисел, входящих в ряд квадратных чисел. Эти числа называются также идеальными квадратами. Рациональными числами являются также дроби, составленные из этих идеальных квадратов. Например, \sqrt{1\frac79} является рациональным числом, так как \sqrt{1\frac79}=\frac{\sqrt16}{\sqrt9}=\frac43 или 1\frac13 ( 4 — это корень квадратный из 16, а 3 — корень квадратный из 9).

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (6 голосов, рейтинг: 2,33 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>