Комплексные числа

Раз уж мы в предыдущей статье заговорили о севере, юге, западе и востоке, то следует вспомнить и о таких направлениях, как северо-запад, юго-восток и так далее. Поскольку результат умножения действительных чисел на мнимые никогда не будет ложиться ни на одну из осей (север — юг или восток — запад). А как обстоят дела со сложением, например, чему равна сумма 1+і? Ученые-математики не удосужились предложить специальный символ для этого выражения, поэтому его оставляют в виде 1+і, но в нашей системе координат его можно представить наглядно.сложение комплексных чисел

N = положительное действительное число, например +1.
Е = положительное мнимое число, например +і.
S = отрицательное действительное число, например -1.
W = отрицательное мнимое число, например -і.

Теперь давайте снова построим две оси, но вместо того, чтобы проставлять значения против каждого деления, на этот раз проведем через каждое деление новую линию.

Предположим, через каждое деление на вертикальной оси, то есть на оси действительных чисел, мы проводим горизонтальную линию. Проводим линию через деление +1, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +1. Следующую горизонтальную линию проводим через +2, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +2. Следующую горизонтальную линию проводим через -3, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно -3. Таких линий можно провести сколь угодно много.комплексные числа

Такую же процедуру можно осуществить и с горизонтальной осью, то есть с осью мнимых чисел. Через каждое деление на горизонтальной оси, то есть на оси мнимых чисел, мы проводим вертикальную линию. Так же, как и в прошлом случае на всей протяженности линии, проведенной через деление +1i, значение мнимого числа равно +1i; на всей протяженности линии, проведенной через деление +2i, значение мнимого числа равно +2i; а на всей протяженности линии, проведенной через деление -5i, значение мнимого числа равно -5i.

Теперь мы получили своеобразный шаблон шахматной доски, на котором для каждой линии, соответствующей мнимому числу, существует линия, соответствующая действительному числу, и наоборот, причем эти линии пересекаются.

Теперь мы сможем найти ответ на вопрос, чему равна сумма 1+і. Число, соответствующее 1+і, — это точка пересечения линий +1 и +i на нашем шаблоне. Поскольку расстояния между делениями на обеих осях одинаковы, 1+і представляет собой число в направлении северо-восток. Точно так же и 2+2і, 3+3і, 4+4і и так далее.

Число, подобное числу 1-і, можно представить как +1+(-i), и оно будет на нашем шаблоне представлять собой точку пересечения прямых +1 и -і, то есть в направлении северо-запад. Точно так же -1+і — это юго-восток, а -1-і - это юго-запад.

Другие направления можно представить такими числами, как 15+2i, -7-3і и так далее. По сути дела, каждая точка на нашем шаблоне (который, как вы уже догадались, можно расширять бесконечно) представляет собой какое-то число, которое является суммой действительного и мнимого числа. Более того, положение точки на шаблоне может соответствовать выражению, содержащему десятичную дробь или иррациональное число, например 9,54+0,0151i, или 2\sqrt7+{-5}\sqrt{2i}.

Числа, подобные тем, что представлены выше, состоящие из действительной и мнимой частей, называются комплексными. Любое действительное или мнимое число может быть представлено в виде комплексного, то есть 42=42+0i, а 5i=0+5i.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>