Счетные последовательности чисел

Тем не менее объяснение из статьи «Бесконечность…» может вас не удовлетворить. Ведь кажется настолько очевидным, что четных чисел должно быть вдвое меньше, чем целых чисел вообще, пусть даже их число будет бесконечно, а чисел, кратных миллиону, должно быть в миллион раз меньше, чем всех целых чисел.Счетные последовательности чисел

Но далеко не всегда то, что кажется очевидным, соответствует истине. Казалось бы, очевидно, что, если человек стоит лицом к северу, его спина обращена к югу. Кто же станет возражать против этого? Но если он стоит на Южном полюсе, то это не соответствует истине. И его лицо, и его спина будут обращены на север.

Давайте все-таки разберемся с числами. Давайте выясним, какое соотношение существует между четными числами и всем количеством целых чисел. Как же это сделать, ведь целых чисел бесконечное количество? Тем не менее метод для такого подсчета существует.

Как мы обычно считаем объекты? Мы приписываем каждому объекту определенное число из возрастающей последовательности целых чисел. Первый объект – объект номер один, второй – номер два и так далее. Если последний объект оказывается объектом номер десять, значит, у нас всего десять объектов.

А можно ли считать, не пользуясь числами? Это почти то же самое, что спросить: «А можно ли считать, не считая?» Как ни странно, это возможно.

Представим себе, что вокруг нас стоит толпа кричащих детишек, которым мы должны раздать леденцы. Мы не знаем ни сколько детей требует леденцов, ни сколько леденцов у нас в коробке. Но делать нечего, и мы начинаем раздавать леденцы – по одному каждому малышу. Если к тому моменту, когда коробка опустеет, каждый малыш будет сосать вкусный леденец, значит, количество леденцов равнялось количеству детей. Если к тому моменту, когда мы одарим всех малышей леденцами, у нас в коробке еще останутся леденцы, значит, количество леденцов больше количества детей. Если же, напротив, у нас не хватит леденцов на всех, это будет означать, что детей больше, чем леденцов.

Такой метод подсчета, заключающийся в сравнении последовательных рядов (один леденец против одного ребенка, или одно четное число против одного целого числа), поможет выяснить, равны ли два ряда чисел, и если они не равны, то какой ряд больше.

Напишем ряд целых чисел, а под ним ряд четных чисел:Счетные последовательности чисел

Мы видим, что для каждого целого числа нашлось четное число, причем его можно получить, умножив соответствующее целое число на 2.

Мы видим, что, как бы много чисел мы ни написали, каждому целому числу соответствует определенное четное число и, наоборот, каждому четному числу соответствует определенное целое число (то есть каждому ребенку достается по одному леденцу).

Что же это означает? Можем ли мы утверждать, что количество четных чисел равно количеству целых чисел? Не совсем так. Дело в том, что, когда речь идет о бесконечности, мы не можем сказать, что одна бесконечность равна другой бесконечности. Но мы можем утверждать, что имеется соответствие один в один между последовательностью целых чисел и последовательностью четных чисел, то есть последовательность четных чисел является взаимно однозначной с последовательностью целых чисел. Это означает, что если мы сопоставим последовательность целых чисел с последовательностью четных чисел, то для каждого целого числа найдется свое четное число и наоборот.

Точно так же мы можем сравнить последовательности целых чисел и чисел, кратных миллиону. Для каждого целого числа можно написать соответствующее число, кратное миллиону, которое мы получим умножением данного целого числа на миллион. Для 1 это будет 1 000 000, для 6 это будет 6 000 000, а для 234 – 234 000 000. То есть можно сказать, что каждому целому числу соответствует число, кратное миллиону, или что эти две последовательности соответствуют друг другу «один в один» или являются взаимно однозначными.

Последовательность чисел, взаимно однозначная с последовательностью целых чисел, называется счетной

Последовательность целых чисел также называется счетной.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>