Мнимые числа

До сих пор при обсуждении квадратных корней мы избегали упоминания об отрицательных числах. Например, говорили, что \sqrt4=2, потому что 2x2=4. Но точно так же справедливо выражение \sqrt4=-2, потому что (-2)х(-2)=4. (Надеюсь, вы не забыли, что при перемножении двух отрицательных чисел мы получаем положительное число.)Мнимые числа

Следовательно, у числа 4 есть два квадратных корня, выражение можно записать следующим образом: \sqrt4=±2. Символ «±» обозначает «или плюс, или минус».

Но если оба числа, +2 и -2, являются корнями квадратными из 4, то какое же число будет корнем квадратным из -4? Конечно, (+2)х(-2)=-4, но +2 и -2 — это не одно и то же. Так что перемножение этих двух разных чисел не является возведением в квадрат.

Очевидно, что среди положительных и отрицательных чисел не существует такого, которое, будучи возведено в квадрат, дало бы -4 или любое другое отрицательное число, но давайте проявим упорство, попробуем найти подходящее число и решить эту задачу.

Для начала упростим задачу, насколько это возможно. Любое число, скажем \sqrt{64} , можно разбить на множители и записать в виде \sqrt{(16x4)}. Это выражение можно дальше преобразовать в \sqrt{16}\times\sqrt4. При этом окончательный ответ не меняется. \sqrt{64}=8 и \sqrt{16}\times\sqrt4=4\times2=8.

Мы можем решить еще сколько угодно подобных примеров, и всегда это правило будет справедливо. То есть если число разбить на множители, то квадратный корень из этого числа будет равен произведению квадратных корней сомножителей. Это утверждение справедливо и для иррациональных чисел. Например, \sqrt{15}=\sqrt5\times\sqrt3. Можно заглянуть в специальные таблицы и найти там \sqrt{15}, равный 3,872983.

В свою очередь, \sqrt{5}=2,236068, \sqrt{3}=1,732051 (конечно, это приближенные значения). При перемножении 2,236068х1,732051 получаем 3,872983, то есть мы доказали, что \sqrt{15}=\sqrt5\times\sqrt3.

Отлично, тогда мы можем предложить такую схему. Любое отрицательное число равно произведению соответствующего положительного числа на -1. Другими словами, -64=64х(-1); -276=276х(-1); -1,98=1,98х(-1) и так далее.

Квадратный корень из любого числа, например из -172, можно разбить на сомножители: \sqrt{-172}=\sqrt{172}\times\sqrt{-1}. Следовательно, если мы найдем квадратный корень из -1, мы сможем найти квадратный корень любого отрицательного числа. Но тут мы опять сталкиваемся с неразрешимой, казалось бы, задачей: 1x1=1; (-1)х(-1)=1.

Не существует такого числа, которое при перемножении на себя самое дало бы -1.

Следовательно, единственное, что мы можем сделать, — это придумать такое число, Мы можем договориться, что символ # обозначает, что #х# равно отрицательному числу. Тогда #1х#1=-1. Это выражение справедливо по определению, а поскольку оно не противоречит ни одному из математических постулатов, то нет никаких оснований, чтобы его не использовать.

Разумеется, такое число является нереальным, воображаемым. Мы легко можем себе представить, что такое +$1 и -$1. +$1 — это доход в $1, а -$1 — это расход в $1. Но как представить себе #1$? Математики, которые первыми стали работать с этими новыми числами, назвали их мнимыми. В отличие от мнимых чисел обычные отрицательные и положительные числа, как рациональные, так и иррациональные, называются действительными.

Математики не стали изобретать для этих чисел нового знака, наподобие знака + или -. Вместо этого они обозначили \sqrt{-1} буквенным символом «і». Другими словами, іxі=-1, или \sqrt{-1}=і Кроме того, (-і)х(-і) также равняется і2, то есть -1. Мы также должны записать \sqrt{-1}=-і. И последнее, (-і)хі=(-і)2=-(-1)=1. Теперь мы легко можем извлечь квадратный корень из любого отрицательного числа.

Величина \sqrt{-4} равна \sqrt4\times\sqrt{-1}, или ±2хі, что можно просто записать как ±2і.

Точно так же величина \sqrt{-64} равна \sqrt{64}\times\sqrt{-1}, или ±8хі, что можно просто записать как ±8і, а величина \sqrt{-15} равна \sqrt{15}\times\sqrt{-1} , или ±3,8729832хі, что можно просто записать как ±3,8729832і.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>