Малая теорема Ферма

Эта теорема чрезвычайно полезна для решения задач на остатки степеней, и хотя она является вполне серьезной теоремой из теории чисел и не входит в школьный курс, ее доказательство может быть проведено на нормальном школьном уровне. Оно может быть проведено различными способами, и одно из самых простых доказательств опирается на формулу бинома, или бинома Ньютона, которая в настоящее время включена в стандарты для Малая теорема Фермапрофильного курса математики, который, по существу, должны изучать все, кто собирается получать высшее образование в вузах, требующих более глубокой математической подготовки по сравнению с другими учащимися.

Формулировка малой теоремы Ферма очень проста:

если р — простое число, то для любого натурального а разность ар делится на р

Можно ее и иначе сформулировать:

если р — простое число, то для любого натурального а, не делящегося на р, разность ар-1-1 делится на р

Иными словами, если р — простое, то остаток от деления степени ар-1-1 на р равен 1. Поэтому при вычислении остатка от деления степени 34746 на 13 мы можем не только сразу же уменьшить основание степени до 8 — остатка от деления 34 на 13, но заметив, что 812 при делении на 13 дает остаток 1, записать далее: 8745=812х62+1=812х62х8, поэтому искомый остаток равен 8.

Очень удобно использовать эту теорему Ферма при решении задач с кратким ответом — правильный ответ вы всегда сможете быстро получить, а никаких доказательств при решении таких задач не требуется. Например, в задаче: какой остаток при делении на 17 дает число 96514? малая теорема Ферма позволяет заменить заданную степень степенью с маленьким показателем: вместо показателя степени рассматривается его остаток от деления на 16.

Ясно, что задача существенно упростилась, а дальнейшее решение удобно провести с помощью сравнений, рассматривая сравнения по модулю 17. Поскольку 96 \equiv 11 \equiv -6, то 96^3\equiv (-6) \equiv -6^3 \equiv -36 \times 6 \equiv -12 \equiv 5.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>