Монотонные функции

Очень распространен в математическом языке термин монотонная функция: так называют функцию, кМонотонные функцииоторая является возрастающей или убывающей — в любом из соответствующих смыслов. Употребляются также и термины строго монотонная и нестрого монотонная функция — вполне понятно, что они означают.

На графике монотонные функции изображаются линиями, которые на соответствующем промежутке либо постоянно поднимаются, либо постоянно опускаются. Поэтому очевидно, что монотонная функция, определенная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значения в концах этого отрезка. Столь же очевидно, что монотонная функция, определенная на интервале, не может иметь ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Иногда бывает нужно доказать, что функция не является ни возрастающей, ни убывающей, т.е. не является монотонной (в строгом смысле). Тогда можно использовать следующую теорему.

Монотонная функция не может принимать одно и то же значение в двух точках

В самом деле, если существуют такие точки а и b, что а<b и f(a)=f(b), то это означает, что не при всех допустимых значениях а и b из неравенства а<b следует, что f(a)<f(b), т.е. функция не является возрастающей. Аналогичными рассуждениями показывается, что функция не является убывающей.

Так, например, функция у=х2+х не является монотонной, потому что уравнение х2+х=0 имеет два корня, и следовательно, функция у=х2+х дважды принимает значение 0.

Наибольшее и наименьшее значения функций. Одной из важнейших задач, возникающих при рассмотрении функции, является отыскание среди бесконечного множества ее значений двух особенных, крайних — наибольшего и наименьшего. Однако функция, даже если она задана на ограниченном промежутке, не должна обязательно иметь наибольшее и/или наименьшее значения.

Учитывая это обстоятельство, можно понять, что следующее утверждение не есть таким очевидным, как это может показаться на первый взгляд:

Непрерывная функция, заданная на отрезке, всегда имеет наибольшее и наименьшее значение

В математическом анализе оно носит название теоремы Вейерштрасса.

Часто говорят, что функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений или — еще более странно — принимает эти значения. Как можно, однако, не достичь какого-то значения, не принять этого значения, если оно уже названо значением? Однако этим формулировкам уже полтора века, и уже поэтому они имеют право на существование. Слово достигает выражает при этом, скорее, эмоцию (все же достигла!) и оправдывает необходимость доказательства теоремы.

Заметим, что теорема Вейерштрасса не будет верна, если мы «забудем» о том, например, что промежуток, на котором задана функция, должен быть замкнутым.

Так, функция y=\frac1x  непрерывна на интервале (0, 1), но вблизи 0 принимает сколь угодно большие значения, и в этом состоит принципиальная разница между отрезками и интервалами.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>