Признаки делимости на 7 и на 13

Признак делимости – это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление.Признаки делимости на 7 и на 13

В предыдущей статье мы рассмотрели признаки делимости на 4, 8, 11 и 25. Признак делимости на 7 связан с разбиением десятичной записи числа на тройки, сейчас мы получим этот признак с помощью сравнений, а сравнения будем рассматривать, естественно, по модулю 7.

Рассмотрим семнадцатизначное число n=18 876 009 138 763 423, разобьем его на тройки справа налево и выделим соответствующие слагаемые в его десятичной записи (последней тройки не получается, но мы будем считать, что 18=018):

n=10^15\times18+<10^12\times876+10^9\times009+10^6\times138+10^3\times763+423,

и заметим, что 1001 делится на 7, т.е. 1001\equiv 0, и поэтому 10^3\equiv-1, 10^6\equiv1, 10^9\equiv-1, 10^{12}\equiv1, 10^{15}\equiv-1, так что n\equiv-18+876-9+138-763+423. Иными словами, число n сравнимо со знакочередующейся суммой s своих троек, так что n и s дают одинаковые остатки при делении на 7, откуда и следует признак делимости на 7.

Что касается признака делимости на 13, то мы его фактически уже доказали. В самом деле, в доказательстве признака делимости на 7 мы использовали единственное свойство числа 7 — только то, что 7 — делитель числа 1001. Но 1001=7\times11\times 13 и поэтому буквально то же доказательство — с заменой числа 7 на 11 или 13 — приводит к тому же признаку делимости на 11 и 13, так что с помощью знакочередующейся суммы s троек из десятичной записи числа п можно определить, делится ли п на 7, 11 или 13.

Отметим в то же время, что рассмотренный выше признак делимости на 11, разумеется, проще, а признаки делимости на 7 и 13 связаны с достаточно долгими вычислениями, зачастую вполне сравнимыми по трудности с делением «уголком».

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (7 голосов, рейтинг: 3,57 с 5)
Loading...Loading...

Комментарии

  1. натали

    Ответить

  2. САША

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>