Доказательства непериодичности функций

В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция y=sin\frac34 x+sin\frac27 x является периодической, достаточно просто отметить, что произведение T=4\times7\times 2\pi является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа 2\pi, которые «съест» сам синус.Доказательства непериодичности функций

Но доказательство непериодичности той или иной функции непосредственно по определению периодической функции может оказаться совсем не простым. Так, для доказательства непериодичности рассмотренной выше функции y=\sin x^2 можно выписать равенство sin(x+T)^2=\sin x^2, но не решать по привычке это тригонометрическое уравнение, а догадаться подставить в него х=0, после чего дальнейшее получится почти автоматически: \sin T^2=0, T^2=k\pi, где k — некоторое целое число, большее 0, т.е. T=\sqrt  {k\pi}, а если теперь догадаться подставить в него x=\sqrt {\pi}, то получится, что \sin(\sqrt{\pi}+\sqrt{k\pi})=0, откуда \sqrt{\pi}+\sqrt{k\pi}=n\pi, 1+\sqrt{k}=n\sqrt{\pi}, 1+k+2\sqrt{k}=n^2\pi, 2\sqrt{k}=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m, 4k=n^4{\pi}^2+2mn^2x+m^2, и таким образом, число р является корнем уравнения n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0, т.е. является алгебраическим, что неверно: \pi является, как мы знаем, трансцендентным, т.е. не является корнем никакого алгебраич­ской уравнения с целыми коэффициентами. Впрочем, в будущем мы получим гораздо более простое доказательство этого утверждения — но уже с помощью средств математического анализа.

При доказательстве непериодичности функций часто помогает элементарный логический трюк: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она, естественно, не является периодической. Так, периодическая функция всякое свое значение принимает бесконечно много раз, и поэтому, например, функция y=\frac{3x^2-5x+7}{4x^3-x+2} не является периодической, так как значение 7 она принимает только в двух точках. Часто для доказательства непериодичности удобно использовать особенности ее области определения, а для нахождения нужного свойства периодических функций иногда приходится проявлять определенную фантазию.

Заметим еще, что очень часто на вопрос, что же такое непериодическая функция, приходится слышать ответ в стиле, о котором мы говорили в связи с четными и нечетными функциями, — это когда f(x+T)\neq f(x), что, конечно же, недопустимо.

А правильный ответ зависит от конкретного определения периодической функции, и, исходя из данного выше определения, можно, конечно, сказать, что функция является непериодической, если она не имеет ни одного периода, но это будет «плохое» определение, которое не дает направления доказательства непериодичности. А если его расшифровать далее, описав, что значит предложение «функция f не имеет ни одного периода», или, что то же самое, «никакое число T \neq 0 не является периодом функции f», то получим, что функция f не является периодической в том и только в том случае, когда для всякого T \neq 0 существует число x\in D(f) такое, что либо хотя бы одно из чисел x+T и x-T не принадлежит D(f), либо f(x+T)\neq f(x).

Можно сказать и иначе: «Существует число x\in D(f) такое, что равенство f(x+T) = f(x) не выполняется» — это равенство может не выполняться по двум причинам: или оно не имеет смысла, т.е. одна из его частей не оп­ределена, или — в противном случае, быть неверным. Для интереса добавим, что языковой эффект, о котором мы говорили выше, здесь проявляется тоже: для равенства «не быть верным» и «быть неверным» — не одно и то же — равенство еще может не иметь смысла.

Детальное выяснение причин и последствий этого языкового эффекта в действительности является предметом не математики, а теории языка, лингвистики, точнее, ее особого раздела: семантики — науки о смысле, где, впрочем, эти вопросы являются весьма сложными и не имеют однозначного решения. А математика, в том числе и школьная, вынуждена мириться с этими трудностями и преодолевать языковые «неурядицы» — пока и поскольку она использует, наряду с символическим, и естественный язык.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (4 голосов, рейтинг: 4,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>