Возрастающие и убывающие функции

Как известно, функцию у=f(x) в школе называют возрастающей, если для любых чисел а и b из ее области определения из неравенства а<b следует неравенство f(a)<f(b). С другой стороны, важным свойством функции является еще одно, более слабое условие: из неравенства а<b следует неравенство f(a)<f(b) — примером такой функции является функция с графиком, изображенным на рисунке: он имеет горизонтальный участок. Этим свойством обладает и «экзотическая» функция у=sgn х, равная 1 при положительных х, -1 при отрицательных х и 0 при х=0.Возрастающие и убывающие функции

Поэтому возрастающую, с точки зрения школьной программы, функцию часто называют строго возрастающей, подчеркивая, что при а<b выполняется строгое неравенство f(a)<f(b), а если от функции требуется, чтобы из неравенства а<b следовало нестрогое неравенство, то ее называют или нестрого возрастающей, или возрастающей в нестрогом смысле, или неубывающей. Последний термин оправдан тем, что при а<b не выполняется противоположное неравенство f(a)>f(b), которое фигурирует в определении убывающей функции.

Ясно, что то же самое можно сказать и о свойствах, связанных с убыванием функций, а также для возрастающих и убывающих (в любом смысле) функций не только на всей области определения, но и на любом ее подмножестве — множестве, в ней содержащемся.

Отметим, что употребление термина неубывающая функция приводит к несколько неожиданному языковому эффекту: оказывается, что свойство функции быть неубывающей не совпадает со свойством не быть убывающей: например, функция у=х3 — вовсе не убывающая (она, ясно, возрастающая), но она неубывающая: из а<b следует, что а3<b3. Впрочем, для обычного русского языка этот эффект даже весьма типичен: «не быть приятелем» — не значит «быть неприятелем», а связано это с тем, что в парах «приятель—неприятель» и «черное—белое» — так же, как и в паре «возрастающая—убывающая», — соответствующие слова являются антонимами, а не отрицаниями друг друга.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>