Нигде не определенная функция

В определении функции в любой форме речь идет о том, что каждому элементу х из некоторого множества X ставится в соответствие некоторое число у. При этом каждый «нормальный» человек считает «внутри себя», что имеется в виду, конечно, непустое множество X — иначе какой смысл говорить о функции? Да и можно ли вообще говорить о каждом элементе, если никаких элементов просто нет?Нигде не определенная функция

Между тем в этом крайнем случае, как и во многих других, математики предпочитают свой выход, отличающийся от здравого смысла. И вы легко согласитесь с математическим вариантом — включением в рассмотрение такого «странного» объекта, как нигде не определенная функция, если почувствуете, какие осложнения возникают при отсутствии, запрещении этого объекта.

В самом деле, тот факт, что буквенное выражение при некоторых значениях переменной может не иметь смысла, никоим образом вас, конечно, не удивляет. Например, выражение \frac1x — не имеет смысла при х = 0, выражение \sqrt{x}+\sqrt{-x} имеет смысл только при х = 0. А выражение \sqrt{x-1}+\sqrt{-x} не имеет смысла ни при одном значении х: для первого слагаемого нужно чтобы х был не меньше 1, а тогда во втором слагаемом под знаком радикала стоит отрицательное число.
С другой стороны, вы знаете аналитический способ задания функции, когда берется выражение с перемен­ной и каждому ее значению ставится в соответствие значение этого выражения при этом значении перемен­ной. А что делать, если это выражение не имеет смысла ни при одном значении х?

Конечно, можно усовершенствовать этот способ зада­ния функции, потребовав сразу же, чтобы исходное вы­ражение с переменной не было таким «плохим», но то­гда каждый раз, прежде чем говорить о функции, заданной некоторым выражением, придется убеждать­ся, что оно определено хотя бы при одном значении пе­ременной.

Но этот выход из положения все равно окажется «страусиным», и нигде не определенная функция «вы­скочит» в других местах. Например, вы, не задумываясь, складываете и перемножаете любые функции и при этом неявно и неосознанно пользуетесь именно сущест­вованием понятия нигде не определенной функции — а какая функция иначе является суммой функций y=\sqrt{x-1} и y=\sqrt{-x}? Конечно, и в этом случае можно уточнять, какие функции можно складывать, потребо­вав, чтобы у складываемых функций области определе­ния имели хотя бы одну общую точку.

В конкретных случаях таких уточнений понадобится очень много, и возможность избежать подобных пере­грузок и дает понятие нигде не определенной функции, «ненормальное» для «нормальных» людей и вполне нормальное для математиков. Кстати, все подобного ро­да фокусы связаны с наличием пустого множества, так­же «ненормального» для «нормальных» людей, не без оснований считающих, что «множество — это прежде всего много». А против пустого множества вы вряд ли что-либо имеете, и дело в действительности только в привычке.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>