Периодические функции

Понятию периодической функции в разных учебниках даются различные определения, однако независимо от этих различий периодическими являются или не являются одни и те же функции, поэтому говорят, что эти определения равносильны, или эквивалентны, т.е. описывают одно и то же свойство функций, означают одно и то же.Периодические функции

Наиболее просто, по нашему убеждению, дать определение периодической функции в два шага:

1. Число  T\neq0 называется периодом функции f, если вместе со всяким числом x \in D(f) числа х+Т и x-Т также принадлежат D(f) и выполняется равенство f(x+Т)=f(x).

2. Функция называется периодической, если она имеет хотя бы один период.

Естественно, функцию называют периодической с периодом Т, если число Т является ее периодом.

Сама форма определения периода подсказывает, что периодов у функции может быть много: в нем подразумевается, что всякое число Т с указанным свойством является периодом функции f, а вы прекрасно знаете, что если Т — период f, то любое его кратное, т.е. число вида nТ, где n — любое целое число, является ее периодом.

В частности, поэтому некорректны, строго говоря, часто встречающиеся фразы типа «Периодом функции y=sinx является 2\pi» — периодов у синуса много, и лишь один из них равен 2\pi. В то же время не может вызвать никаких возражений фраза — из те же слов, но в другом порядке: «2\pi является периодом функции y=sinx».

Отметим, что не всякая периодическая функция имеет основной, т.е. наименьший положительный период — например, периодом постоянной функции является любое число, отличное от 0, но, пожалуй, самая простая из таких функций, отличных от постоянной, — это «экзотическая» функция Дирихле.

Полезно — особенно для экономии времени при решении задач с кратким ответом — знать, что сумма двух периодических функций с одинаковым периодом является периодической функцией, и более того, для периодичности суммы достаточно, чтобы отношение каких-то двух их периодов Т1 и Т2 являлось рациональным числом (такие числа Т1 и Т2 часто называют соизмеримыми).

В самом деле, если \frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac pq, то qT_{1}=pT_{2} и это число является, очевидно, общим периодом этих функций, а значит, и периодом их суммы. Аналогичные утверждения могут быть доказаны и для разности функций, а также для их произведения и частного — правда, с некоторыми осложнениями из-за нулевых значений.

Кроме того, если функция g имеет период Т, то при любой функции f сложная функция y= f(g(x)) также имеет период Т: если х входит в ее область определения, то x+T и x-T в нее также входят, и выполняется равенство f(g(x+T))=f(g(x)). В этом утверждении ни в коем случае нельзя перепутать порядок функций f  и g — периодическая функция должна стоять внутри, т.е. применяется к х первой, а в противном случае результат вполне может не оказаться периодической функцией: поэтому, например, функция y=\sin^2 x — периодическая — она может быть представлена в виде y=f(g(x)), где g(x)=sin x, a f(x)=x^2, так что f(g(x))=(g(x))^2=\sin^2 x. В то же время, скомбинировав функции f и g в обратном порядке, мы получим функцию: y=f(g(x))=g(x^2)=sin x^2, которая периодической не является, хотя установить это не так просто — при всей «очевидности» этого утверждения.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (9 голосов, рейтинг: 2,33 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>