Основная теорема арифметики

Ее обычно формулируют так:

всякое натуральное число, отличное от 1, единственным образом представляется в виде произведения простых чисел

или так:

всякое натуральное число единственным образом представляется в виде произведения степеней разных простых чисел

Основная теорема арифметикипоследнее разложение часто называют каноническим, хотя и не всегда, требуя при этом, чтобы простые множители входили в это разложение в порядке возрастания.

При этом всегда подразумевается, что порядок этих множителей является несущественным, так что два таких представления, отличающиеся только порядком множителей, считаются совпадающими: например, 12=2x2x3=2x3x2=3x2x2 это одно и то же разложение числа 12, и именно такое понимание позволяет говорить о единственности разложения числа на простые множители. Еще одна тонкость в формулировке основной теоремы, быть может, не слишком заметная, но существенная для ее правильного понимания, рассматривается в статье «Крайние случаи в математике».

Основная теорема арифметики в школьном курсе не доказывается, т.е. принимается без доказательства, но ее можно неограниченно использовать. Более того, разрешается считать очевидными некоторые ее следствия, которые при этом также разрешается не доказывать. Так, очевидным можно считать часто используемое утверждение:

Если произведение двух целых чисел делится на простое число р, то хотя бы одно из этих чисел делится на р.

Это утверждение — одношаговое следствие основной теоремы арифметики: если произведение ab делится на с, то в его каноническом разложении есть множитель р, а попал он в это произведение либо от а, либо от b, а стало быть, р содержится в разложении на простые одного из чисел а и b — оно и делится на р.

После этого рассуждения легко понять, почему для числа р, не являющегося простым, аналогичное утверждение неверно: если р составное, то у него по крайней мере есть два простых множителя, один из которых может входить только в разложение а, а другой — только в разложение b. Соответствующий простейший пример очевиден: р=6, а=2, b=3.

А почему верно утверждение «Если а2 делится на b2, то а делится на b»? Сразу доказать его вряд ли возможно: совсем не ясно, как из равенства а2=kb2 получить равенство вида а=nb. Сделать это позволяет именно основная теорема: все простые множители в канонические разложения чисел а2 и b2 входят с четными показателями, поэтому при а2=kb2 все простые множители в каноническое разложение k также входят с четными показателями и, следовательно, k является точным квадратом: k=n2, а из равенства а2=n2b2 сразу же получаем а=nb, т.е. а делится на b.

Из основной теоремы арифметики следует совершенно необходимое для решения задач утверждение:

если натуральное число а делится на натуральные числа b и с, и числа b и с взаимно просты, то а делится на произведение bс.

В самом деле, в разложении числа а на простые множители имеются все простые множители, входящие в разложение числа b, причем с не меньшими, чем в b, показателями степени, и то же самое касается числа с. Но поскольку числа b и с взаимно просты, т.е. не имеют общих множителей, то в разложении числа а автоматически появляются все множители произведения bс в соответствующих степенях, так что а делится на bс, что и требовалось доказать.

Очень важно помнить, что это утверждение перестает быть истинным, если не предполагать, что b и с взаимно просты: например, 18 делится на 6 и на 9, но не делится на 6x9=54. Можно привести и еще более простой хотя и несколько «вырожденный» пример: 2 делится на 2, но 2 не делится на 2x2=4.

Из основной теоремы арифметики также следует критерий делимости одного числа на другое, основанный на знании канонических разложений этих чисел:

Число а делится на число b тогда и только тогда, когда все простые множители, входящие в разложение числа b, входят и в разложение числа а, причем с показателем степени, не меньшим чем в b.

Например, 23x52x7x114 делится на 23x5x114, но не делится ни на 23x52x114x13, ни на 24x5x7x114.

Из этого критерия, или необходимого и достаточного условия делимости, вытекает формула для числа делителей натурального числа. Именно, если a={p_{1}}^{\alpha_{1}}{p_{2}}^{\alpha_{2}}...{p_{k}}^{\alpha_{k}}, то число делителей а равно (\alpha+1)(\alpha_{2}+1)...(\alpha_{k}+1).

В самом деле, чтобы число b было делителем числа a, надо, чтобы оно имело те же простые множители, но с показателями, не большими чем в а. Но тогда первый показатель можно выбрать любым от 0 до \alpha_{1} т.е. числом способов \alpha_{1}+1, и точно так же второй показатель можно выбрать числом способов \alpha_{2}+1 и т.д., а всего для выбора делителя b имеется именно (\alpha+1)(\alpha_{2}+1)...(\alpha_{k}+1) способов, что и требовалось доказать.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>