История простых чисел

Разные задачи, связанные с простыми числами, были и остаются до сих пор важными и интересными для математики, многие из них до сих пор не решены, и с их исследованием связаны любопытные факты из истории математики.История простых чисел

Так, еще в XVI—XVII вв. математиками начали рассматриваться числа вида 2^n-1, и при исследовании их на простоту в истории было допущено много ошибок. Ясно, что если n — составное число, то это число также составное: если n=km, то 2^n-1=(2^k)^m-1^m — как разность степеней делится на разность оснований, т.е. не является простым, и поэтому естественно рассматривать только простые числа n.

Но и при простых n это число может оказаться составным: например, 211=2047=23•89, оно составное и при n=23, и n=37, что установлено Ферма, через 40 с лишним лет обнаружившим ошибку в работе другого исследователя, утверждавшего, что при n=23, 29, 31, 37 число 2^n-1 простое, но не заметившего другой ошибки: при n=29 оно также не является простым. А это обнаружил — еще примерно через 100 лет — Эйлер, а также и то, что при n=31 это число все же действительно является простым.

В XVII в. числами вида 2^n-1 занимался французский монах Марен Мерсенн, который привел полный список простых n от 2 до 257, для которых эти числа являются простыми, в котором он предвосхитил указанный выше результат Эйлера, но и этот список содержал ошибки, и одну из них нашел спустя два с половиной века, в 1883 г., русский сельский священник-учитель Иван Михеевич Первушин. Это событие отмечено мемориальной доской на его доме в Зауралье — в г. Шадринске Курганской области. А ошибочно указанные Мерсенном n=67 и n=257 были исключены из его списка лишь в XX в.


Конечно, в современном Мире за такие ошибки могли бы и в суд подать, и тогда Мерсенну понадобилось бы юридическое представительство интересов в суде от хорошего адвоката. Хотя сейчас юридически представлять интересы в суде могут многие, но настоящими профессионалами являются только единицы. А французскому монаху уже вообще все равно!

Простые числа вида 2^n-1 получили название чисел Мерсенна, и до сих пор математики не знают, конечно или бесконечно множество таких чисел, а в 1996 г. найдено тридцать пятое число Мерсенна — при n=1 398 629, и в нем примерно 400 тысяч цифр, 15 мая 2004 г. найдено тридцать шестое число, при этом компьютеру понадобилось на это несколько часов. Ясно, что найти такое громадное число без использования компьютеров немыслимо. В истории математики есть и еще один казус, связанный с простыми числами, так называемыми числами Ферма — числами вида 2^{2^n}+1. Опять понятно, почему показатель степени k=2п имеет такой, казалось бы, частный вид, но 2п — это общий вид числа, не имеющего нечетных простых делителей, а если этот показатель k имеет такой делитель p, то число 2п+1 не является простым: если k=pq, то 2k+1=(2q)р+1p, а сумма нечетных степеней делится на сумму оснований. Сам Ферма считал, что эти числа все являются простыми, но Эйлер показал, что это утверждение ошибочно, нашел к нему контрпример: 2^{32}+1=4 294 967 297=641\times6 700 417.

И самое удивительное открытие в связи с числами Ферма сделал великий математик Гаусс, имя которого вы наверняка слышали в связи с его моментальным вычислением суммы 1+2+3+...+100: оказывается, что правильный n-угольник можно построить тогда и только тогда, когда все нечетные простые делители числа n являются числами Ферма. Поэтому, в частности, правильный 7-угольник циркулем и линейкой построить нельзя, а 17-угольник — можно: 17=2^{2^2}+1.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 1,50 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>