Замкнутые многообразия

Подмногообразие М в R^n называется замкнутым, если оно, во-первых, ограничено, т.е. целиком лежит внутри некоторого шара и, во-вторых, обладает следующим свойством: любая точка объемлющего пространства, не принадлежащая М, является центром шара, не имеющего с М ни одной общей точки.сфера

Нетрудно проверить, например, что сферы в R^n являются (n-1)-мерными замкнутыми многообразиями. Координатная гиперплоскость x_{i}=0 в R^n (т.е. множество точек (xi, ...,xn), у которых i-я координата равна нулю) также является (n-1)-мерным многообразием. Но оно не ограничено. Внутренность шара в R^n является незамкнутым n-мерным многообразием (хотя и ограниченным).

Многообразия можно деформировать, пытаясь перевести друг в друга. При этом можно выводить многообразие в евклидово пространство большего числа измерений или просто отображать одно многообразие на другое. Если зафиксировать свойства допустимых при этом отображений, то возникнет вопрос о классификации многообразий данной размерности с точностью до таких преобразований. Условия, накладываемые на отображения, должны быть естественными. Необходимо, конечно, чтобы отображение осуществляло взаимно-однозначное соответствие между точками многообразий. Тем самым, в частности, будет гарантирована возможность проведения обратного преобразования. Но требования взаимной однозначности применяемых отображений явно недостаточно.

Возьмем, например, резиновую сферу в R^3 и слегка продавим ее рукой в каком-нибудь месте. В результате мы снова получим замкнутое двумерное многообразие. Оно вернется в исходное состояние, если убрать руку. Однако если надавить сильно и прорвать сферу (смотреть рис.), то полученная поверхность уже не будет многообразием (проблемы возникают с точками рваной сферы, соответствующими точкам исходной сферы, по которым прошел разрыв). Подобное будет невозможно, если потребовать, чтобы преобразование многообразия, ровно как и его обратное, было непрерывным, т.е. переводило близкие точки в близкие.

Ну, а если вас интересуют другие фигуры и возможность их нарисовать, или поправить их внешний вид, то вы можете использовать эффекты онлайн для программы фотошоп и ваши рисунки и фотки станут шедеврами.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>