Свойства сравнений

Основные свойства сравнений абсолютно совпадают со свойствами равенств: для любого n>1 и любых целых чисел a и b:Свойства сравнений

1. a\equiv a;

2. Если a\equiv b, то b\equiv a;

3. Если a\equiv b, b\equiv c, то a\equiv c;

4. Если a\equiv b, c\equiv d, то a\pm c \equiv b\pm d, ac\equiv bd.

Свойство 4 означает, что сравнение (естественно, по одному и тому же модулю n) можно складывать, вычитать и перемножать почленно. Ясно, что это свойство справедливо для любого количества чисел, в частности, перемножением k сравнений a\equiv b можно получить сравнение a^k \equiv b^k, т.е. сравнения можно возводить в степень с любым натуральным показателем. Можно также любые слагаемые из одной части сравнения переносить в другую — естественно, с изменением знака.

С помощью «языка сравнений» можно не только давать более короткие решения задач, но столь же кратко излагать теоретические факты и их доказательства.

Например, утверждение: «Если p — простое число и произведение ab делится на р, то хотя бы одно из чисел a,b делится на р» записывается следующим образом: «Если р — простое число и ab\equiv 0, то a\equiv 0или b\equiv 0» — ясно, что речь идет о сравнениях по модулю р. А утверждение: «Остаток от деления произведения чисел а и b на число с равен остатку от деления на с, который дает произведение остатков от деления на с, которые дают сами числа a и b», как вы видели, совершенно необходимое при решении задач на делимость и остатки, записывается так: «Если при делении на с числа а и b дают остатки г и s, то ab\equiv rs (\mod{c})».

При решении задач мы часто использовали утверждение, что разность одинаковых степеней целых чисел делится на разность оснований, ссылаясь на «углубленную» формулу разности степеней, но с помощью сравнений без нее вполне можно обойтись: так как a-b делится на a-b, т.е. a\equiv b (\mod {a-b}), то a^k\equiv b^k (\mod {a-b}), значит, a^k-b^k делится на a-b.

Для иллюстрации краткости «языка сравнений» решим задачу: «Найти две последние цифры числа 876 39637». Будем рассматривать сравнения по модулю 100. Так как 876 396\equiv 96\equiv -4, то 876 396^{37}\equiv -4^{37}. Но 4^5\equiv 1024\equiv 24, так что 4^{37}\equiv 4^{35}\times 4^2\equiv 24^7\times16, а поскольку 24^2\equiv 576\equiv -24, то 24^3\equiv -24^2\equiv 24, 24^6\equiv 24^2\equiv -24^2, 24^7\equiv -24^2\equiv 24, 24\times16=384, так что последние две цифры заданного числа — 84. Попробуйте записать это решение без использования понятия сравнения.

Доказательство всех указанных выше свойств сравнений, за исключением сложения и перемножения сравнений, не представляет труда, а в оставшемся случае доказательство проводится с помощью простой, хотя и не очевидной группировки: если числа а и b при делении на k дают остатки г и s соответственно, то

(a+b)-(r+s)=(a-r)+(b-s),

ab-rs=(a-r)b+r(b-s),

а в правой части этих равенств a-r делится на k, b-s делится на k поэтому обе написанных комбинации чисел делятся на k.

Некоторые их этих свойств, часто используют бухгалтера для составления отчетов. Если же вы хотите более подробно изучить это дело, то вам помогут курсы 1с, которые полностью охватывают программу на сайте 1c-academy.com. Их можно пройти прямо через Интернет, в режиме онлайн, не отрываясь от основной учебы. Полученное свидетельство значительно увеличит ваши шансы при прохождении собеседования на будущей работе.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>