Сравнения в множестве целых чисел

Сразу же укажем, что под термином сравнение здесь подразумевается вовсе не выяснение того, какое из двух чисел больше или меньше другого. Понятие сравнения на множестве целых чисел никаким образом не входит ни в школьную программу, ни в программу для поступающих в вузы, хотя оно исключительно удобно для решения именно школьных Сравнения в множестве целых чиселзадач, связанных с делимостью натуральных и целых чисел, и прежде всего с делимостью с остатком — в некоторых задачах решение становится короче, если проводить его с помощью сравнений.

Между тем применение языка сравнений, основанного на единственном «лишнем» термине и единственном «лишнем» знаке \equiv , практически ничем не отличается от использования абсолютно привычного языка равенств со знаком =, и третья черточка в знаке ничему не мешает.

С другой стороны, представьте себе, что вам запретили использовать знак равенства, а вместо него писать слово «равно», соблюдая согласование с соответствующими существительными в роде, числе и падеже. Помимо всего прочего, при этом пришлось бы задумываться, какого рода не только х и у, но р и q, \alpha и \varphi и т.п. Абсурдность этой ситуации более чем очевидна.

Как вы сейчас увидите, «теория сравнений», точнее, ее фрагмент, нужный для решения школьных задач, вам на самом деле уже хорошо знаком, и вся эта теория является фактически переводом известных фактов на другой язык — язык сравнений, и сейчас в этом сможете убедиться.

Пусть n>1 — произвольное натуральное число. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю n, если разность a и b делится на n, или, что то же самое, a и b при делении на n дают одинаковые остатки. Уже из последнего разъяснения ясно, что в определении сравнимости, по существу, нет ничего нового: дан только новый термин, и его полезность объясняется дополнительным знаком сравнения \equiv: вместо того чтобы говорить, что a и b сравнимы по модулю n, пишут a\equiv b (Отметим, что слово «модуль» здесь, разумеется, ни имеет никакого отношения к понятию модуля действительного числа).

Например, верно сравнение 47\equiv32 (\mod {5}) — 15 делится на 5, но неверно сравнение 47\equiv32 (\mod {4}) — 15 не делится на 4. Иными словами, важно знать, какое именно n рассматривается при сравнении двух чисел. Необходимость при пользовании сравнениями всегда писать слово (mod n), естественно, утяжеляет запись, однако на практике при решении задач этого очень часто можно не делать — в большинстве конкретных задач число n, как правило, ясно из контекста.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>