Функции четные и нечетные

Понятия четной и нечетной функции вам хорошо знакомы, и, как правило, их определения даются с упоминанием области определения, например: функция у=f(x) называется четной, если ее область определения D(f) симметрична относительно начала координат, и для всех х из этой области определения выполняется равенство f(-x)=f(x).Функции четные и нечетные

Между тем, если равенство f(x)=f(-x) выполняется, то уж во всяком случае обе его части имеют смысл, так что если x\in D(f), что прямо сказано в определении, то и -x\in D(f), а это означает, что область определения D(f) симметрична относительно начала координат. Иными словами, условие, наложенное на D(f) в этом определении, — лишнее: его выполнение логически следует из главного условия f(x)=f(-x).

Это не значит, конечно, что данное определение не­правильное, оно лишь «неэкономное», и в учебниках определение четной функции дается в таком виде, для того чтобы лишний раз напомнить о симметричности области определения такой функции.

С терминами четная и нечетная также возникает языковой эффект, похожий на тот, о котором мы ранее уже говорили: свойства четности и нечетности для функций не являются отрицаниями друг друга, как можно подумать, исходя из четности и нечетности натуральных и целых чисел. Равенства f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x) не противоречат, как может показаться, друг другу, но могут выполняться одновременно — правда, только в случае, когда f(x)=f(-x)=0 («особое» число 0, как вы уже многократно убеждались в разных ситуациях, нередко «отравляет жизнь»).

Поэтому функция может быть одновременно и четной, и нечетной, и простейшим примером такой функции является постоянная функция — тождественный нуль, т.е. равная 0 при всех значениях аргумента. Можно и описать все функции, одновременно четные и нечетные — это, очевидно, такие функции, имеющие в качестве области определения произвольное симметричное относительно начала координат множество чисел, но принимающее на ней только нулевое значение.

При решении задач, где требуется выяснить, является ли заданная функция четной или нечетной, многие часто склонны судить только по внешнему виду главного равенства и считать, например, что функция y=x^3+2x^2 не является ни четной, ни нечетной, потому что, как обычно пишут,

(-x)^3=-x^3, 2(-x)^2=2x^2, (-x)^3+2(-x)^2=-x^3+2x^2

a -x^3+2x^2\neq x^3+2x^2, -x^3+2x^2\neq ?(x^3+2x^2).

Поэтому ниже мы приводим, можно сказать, хрестоматийный пример функции, где опора только на внешний вид выражения приводит к неверному выводу: это функция y=f(x)=\log_{c}(x+\sqrt{x^2+1}. Выражение y=f(-x)=\log_{c}(-x+\sqrt{x^2+1} судя по его внешнему виду, не совпадает ни с f(x), ни с -f(x), а на самом деле f(x)+f(-x)=\log_{c}(x+\sqrt{x^2+1}+\log_{c}(-x+\sqrt{x^2+1}=\log_{c}(x^2+1-x^2)=\log{c}1=0 т.е. f(x)=-f(-x), так что функция y=f(x)=\log_{c}(x+\sqrt{x^2+1} — нечетная.

Поэтому для доказательства того, что заданная функция не является ни четной, ни нечетной, надо приводить подтверждающие этот факт примеры. Обычно это очень просто: например, для рассмотренной выше функции y=x^3+2x^2, взяв 1 и -1, получим, что f(-1)=1, f(1)=3, так что f(-1) не равно ни f(1), ни f(-1). Это рассуждение есть приведение контрпримера.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>