«Экзотические» функции

Такого понятия в математическом языке, конечно же, нет, и этим словом мы называем здесь лишь функции у=[х] — целую часть х, у={х} — дробную часть х, с которыми вы наверняка уже встречались, и совсем не знакомые вам функцию у=sgn х (сигнум x) и функцию Дирихле.«Экзотические» функции

Целая часть, сигнум и функция Дирихле необычны в первую очередь тем, что они задаются словесно, а не с помощью выражения с переменной, как обычные школьные функции.

Так, у=sgn х определяется тем, что у равен 1 при х>0, равен 0 при х=0 и равен -1 при х<0, а функция Дирихле равна 1 при рациональном значении аргумента и равна 0 при иррациональном его значении. Можно сказать, что эти функции кусочно заданные, хотя назвать множества рациональных и иррациональных «кусками» можно лишь с некоторой натяжкой. А [x] определяется как наименьшее целое число, меньшее или равное х. Впрочем, ее можно задать и «кусочно», правда, для этого понадобится бесконечно много «кусков»: на каждом промежутке вида [k, k+1) функция равна k, но такое ее задание вряд ли понятнее, чем исходное — словесное.

Между тем в математике доказано, причем совсем не сложно, что эти функции и невозможно задать с помощью обычных: как бы вы ни пытались комбинировать всевозможные рациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические функции, вам не удастся сконструировать ни одну из этих функций — эти функции не являются элементарными в точном математическом понимании этого слова. В то же время эти «экзотические» функции чрезвычайно полезны для овладения свойствами функций, необходимыми при изучении начал математической анализа, и служат, в частности, для построения всевозможных контрпримеров. Кстати, в любом вузе, в курсе «Высшая математика», вы с ними непременно встретитесь.

Так, функция Дирихле является простым примером периодической функции, отличной от постоянной и не имеющей основного, т.е. наименьшего положительного, периода: ее периодом является любое рациональное число, а наименьшего положительного рационального числа не существует.

Пример: Функция f определена на множестве действительных чисел. Обязательно ли она является монотонной на некотором интервале?

Ответ: Ясно, что у любой «обычной» функции такие интервалы найдутся — в этом легко убедиться, и вспоминая графики знакомых функций, и рисуя произвольным образом кривые, являющиеся графиками функций. Поэтому искать контрпример надо среди «экзотических» функций, на ум сразу же приходит функция Дирихле. И действительно, она не обладает указанным в условии свойством: на любом интервале (a, b) имеются и рациональные, и иррациональные числа. Если с — рациональное число из интервала (а, b), то взяв на интервале (с, b) иррациональное число d, получим, что с<d, но f(c)=1>f(d)=0, т.е. функция не является возрастающей на (а, b). Точно так же, если взять с иррациональным, то взяв на интервале (с, b) рациональное число d, получим, что с<d, но f(c)=0<f(d)=1, т.е. функция не является убывающей на (а, b).

В современном Мире для лучшего образования и улучшения своих знаний очень необходим английский язык, который стал практически международным. Если у вас с этим проблемы, то вы можете посетить школа английского языка луганск или во многих других городах Украины.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>