Формулы разности и суммы степеней

В программу углубленного изучения математики входят две формулы, обобщающие общеизвестные, хрестоматийные формулы разности квадратов и кубов, а также суммы кубов.

Для любого натурального числа n:

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}\times b+ a^{n-3}\times b^2+\ldots+ a^{2}\times b^{n-3}+ a\times b^{n-2}+b^{n-1}

a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}\times b+ a^{2k-2}\times b^2-\ldots -a^{2}\times b^{2k-2}- a\times b^{2k-1}+b^{2k}Формулы разности и суммы степеней

Они также входят в программу профильного курса математики. И мы уже видели, насколько полезными являются эти формулы для решения задач на делимость и остатки для натуральных и целых чисел.

Доказательство этих формул несложно, хотя и связано с техническими, достаточно простыми выкладками. Для формулы разности степеней оно получается на основе обязательной для всех формулы суммы геометрической прогрессии: достаточно лишь заметить, что в формуле разности степеней второй множитель в правой части является суммой n членов геометрической прогрессии с первым членом b_{1}=a^{n-1} и знаменателем q=\frac b a. Поэтому он равен:формула сумы

так что (b-a)S=b^n-a^n, а это и есть доказываемая формула.

А для доказательства формулы суммы нечетных степеней можно в доказанную формулу подставить -b вместо b и взять n=2к+1.

Применения этих формул к делимости целых и натуральных чисел основываются на их следствиях:

разность степеней двух натуральных или целых чисел с одинаковыми показателями делится на разность оснований;

сумма степеней двух натуральных или целых чисел с одинаковыми нечетными показателями делится на сумму оснований.

Помимо практических приложений, эти формулы полезны и для теории. С их помощью можно доказать в общем виде признаки делимости на 3 и на 9, которые в младших классах были «доказаны» на примерах, т.е., строго говоря, оставлены без доказательства.

В самом деле, натуральное число с с цифрами a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{k-1},a_k в виде суммы разрядных слагаемых представляется как

c=a_0\times10^k+a_1\times10^{k-1}+ a_2\times10^{k-2}+\ldots+ a_{k-1}\times10+a_k

и, вычитая из с сумму его цифр

s=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k-1}+a_k получаем число

c-s= a_0(10^k-1)+a_1(10^{k-1}-1)+ a_2(10^{k-2}-1)+\ldots+a_{k-1}(10-1)

а поскольку всякое число вида 10^n-1 записывается с помощью одних девяток, то c-s делится на 9, так что число и сумма его цифр при делении на 9 дают одинаковые остатки, и в частности, делятся или не делятся на 9 одновременно. То же самое рассуждение годится и для числа 3.

Заметим, что с использованием сравнений доказательство проводится в одну строчку: так как 10\equiv1 (\mod {9}), тоdokazatelstvo

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (7 голосов, рейтинг: 2,29 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>