Многообразия и подмногообразия

Сейчас мы попытаемся объяснить все термины, которые использовались в предыдущей статье при формулировке трехмерной проблемы Пуанкаре.

Сначала о многообразиях. Их проще всего представлять себе некоторыми подмножествами евклидовых сферапространств. С евклидовыми пространствами все хорошо знакомы. Метод координат позволяет, например, отождествлять точки евклидовой плоскости с упорядоченными парами вещественных чисел (x_{1},x_{2}). При этом расстояние между двумя точками (x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2}) на плоскости вычисляется по формуле \sqrt{(y_{1}-x_{1})^2+(y_{2}-x_{2})^2}. Евклидово n-мерное пространство R^n является множеством всевозможных упорядоченных наборов n вещественных чисел (х1, ..., хn), в котором расстояние между двумя точками (х1, ..., хn) и (y1, ..., yn) вычисляется по формуле \sqrt{(y_{1}-x_{1})^2+\ldots+(y_{n}-x_{n})^2}. Числа х1, ..., хn называются декартовыми координатами точки (х1, ..., хn) в R^n.

Множество точек (х1, ..., хn) пространства R^n, удаленных от данной точки С=(c1, ..., cn) на расстояние R>0, называется сферой с центром С и радиусом R. Часть пространства R^n, ограниченная этой сферой, т.е. множество точек (х1, ..., хn), удовлетворяющих неравенству (x_{1}-c_{1})^2+\ldots +(x_{n}-c_{n})^2 \leq R^2, называется шаром (с центром С и радиусом R). Множество точек шара, не лежащих на ограничивающей его сфере, называется внутренностью этого шара. Заметим, что сферы на плоскости принято называть окружностями, а шары — кругами.

Подмножество М пространства R^n называется k-мерным многообразием (точнее, подмногообразием), если для любой точки Р из М существует шар D с центром <Р и разбиение (x_{1},\ldots, x_{n})=(x_{i_{1}},\ldots, x_{i_{k}})\cup (x_{j_{1}},\ldots, x_{j_{n-k}}) набора декартовых координат в R^n на два непересекаюшихся набора из k и n-k координат, соответственно, такие, что часть множества М, лежащая внутри D является пересечением внутренности шара D с множеством точек (х1, ..., хn), удовлетворяющих системе уравнений

\left\{ \begin{array}{l} x_{j_{1}}=f_{1}(x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}}) \\ \ldots \\ x_{j_{n-k}}=f_{n-k}(x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}}) \end{array} \right.

где f1, ..., fn-k — гладкие функции переменных. Здесь гладкость функции нескольких переменных означает, что если произвольным образом зафиксировать все переменные, кроме одной, то график полученной функции одной переменной будет иметь в каждой точке невертикальную касательную, непрерывно изменяющуюся (без резких скачков угла наклона к оси абсцисс) при перемещении точки касания вдоль графика.

О замкнутых многообразиях и о том, как их можно деформировать, читайте здесь.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>