Оклейка тетраэдра шестиугольниками

Сегодня мы поговорим о следующей задаче: Можно ли поверхность правильного тетраэдра оклеить (без пропусков и перекрытий) одинаковыми правильными шестиугольниками?Оклейка тетраэдра шестиугольниками

Скажем сразу, что ответ на вопрос задачи положительный. На рисунке показано шесть решений задачи, из их бесконечного множества.

В каждом из решений разверткой тетраэдра является параллелограмм, состоящий из четырех правильных треугольников. На этот параллелограмм наложен многоугольник, содержащий несколько правильных шестиугольников. Если многоугольник, составленный из правильных шестиугольников, перегнуть по сторонам всех треугольников, то при складывании тетраэдра из треугольной развертки будет складываться тетраэдр из шестиугольников, при этом шестиугольники покроют поверхность тетраэдра полностью, без пропусков и перекрытий.

Уточним, в первой серии решений вне параллелограмма находится несколько трапеций, и ровно столько же таких трапеций не накрыли параллелограмм, причем при складывании тетраэдра «выступающие» трапеции как раз займут место «недостающих» трапеций в развертке.

Во второй серии решений ситуация похожая, разница лишь в том, что здесь роль трапеций выполняют треугольники.

Можно было бы поставить точку, ведь задача решена, приведены конкретные развертки. Но попробуем заглянуть чуть дальше, например, ответить на вопрос: «Как отыскать эти решения?»

Пусть ребро тетраэдра равно a, сторона правильного шестиугольника равна b, тогда площадь поверхности тетраэдра равна a^2\sqrt{3}, а площадь шестиугольника равна \frac32 a^2\sqrt{3}.

Пусть для оклейки понадобится n (n\in N) шестиугольников, тогда, если тетраэдр оклеивать шестиугольниками без пропусков и перекрытий, получим уравнение:n\times \frac32 a^2\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}, откуда n=\frac23 \times (\frac ab)^2.

Заметим, что если \frac ab=3k, k \in N, то n станет натуральным числом вида 6k2. При каждом натуральном значении k получим одно из решений первой серии. Это значит, что тетраэдр можно оклеить 6, 24, 54, 96, ..., 6k2 правильными шестиугольниками. Такое решение, содержащее шесть шестиугольников, было первым решением обсуждаемой задачи.

Следующей находкой было решение, содержащее всего лишь два шестиугольника: если \frac ab=k\sqrt{3}, то n станет натуральным числом вида 2k2. Именно к этому случаю относится решение задачи при k=1. Таким образом, была найдена вторая серия решений задачи. При каждом натуральном значении k получим одно из решений этой серии. Это значит, что тетраэдр можно оклеить также таким количеством правильных шестиугольников: 2, 8, 18, 32, ..., 2k2.

Интересно отметить, что в каждой серии решений длины сторон шестиугольников образуют гармонический ряд, т.е., если в первом решении длину стороны принять за единицу, то последовательностъ длин сторон будет такой: 1,\frac12,\frac13,\frac14,\frac15,\ldots,\frac1n,\ldots

Вполне возможно, что оклеить тетраэдр можно и другим количеством правильных шестиугольников, потому что существует много других значений дроби \frac ab, когда n будет натуральным числом. Например, \frac ab=k\sqrt{6}. Но вопрос здесь остается открытым.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>