Точные квадраты и кубы

Из основной теоремы арифметики следует, что точный квадрат всегда имеет нечетное число делителей: если число a=p_{1}^{\alpha_{1}}\times p_{2}^{\alpha_{2}}\times\ldots\times p_{k}^{\alpha_{k}} есть точный квадрат, то показатели степеней \alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}, четны, а число делителей числа a, равное (\alpha_{1}+1)(\alpha_{2}+1)\ldots(\alpha_{k}+1) нечетно.Точные квадраты и кубы

Точно так же у точного куба число делителей имеет вид 3n+1, у четвертой степени — число вида 4n+11 и т.д.

При работе со степенями целых и натуральных чисел всегда следует иметь в виду, что степень с большим показателем также является и степенью с маленьким показателем: например, а100 — это одновременно и квадрат пятидесятой степени, и четвертая степень двадцать пятой степени, и пятая степень двадцатой степени, и т.п. Ясно, что показатель степени таким образом можно уменьшить для любого составного числа n, а для простого n это ничего не даст.

При решении задач полезным может оказаться следующее свойство точных квадратов:

Квадрат числа при делении на любое число дает тот же остаток, что и квадрат его остатка.

Действительно, если r — остаток от деления k на b, то k2 и r2 дают при делении на b один и тот же остаток: k^2-r^2=(k-r)(k+r), а k-r делится на b.

Например, число k при делении на 6 может давать остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, их квадраты — 0, 1, 4, 9, 16, 25, а остатки от деления квадратов на 6 — это 0, 1, 4, 3, 4, 1. Таким образом, квадрат числа при делении на 6 не может давать остатков 2 и 5.

Теми же рассуждениями легко получить, что возможные остатки при делении точного квадрата на 3 и на 4 — это 0 или 1.

Пример 1: Является ли число 123^2+345^2+567^2 точным квадратом?

Ответ: Все три числа в заданной сумме нечетны, следовательно, их квадраты имеют вид 4п+1, так что их сумма имеет вид 4т+3 и поэтому не является точным квадратом.

Пример 2: Является ли число [50\pi]^2+[100\pi]^2 точным квадратом?

Ответ: Поскольку числа [50\pi], [100\pi] — это на самом деле 157 и 314, то оба они не делятся на 3, и поэтому их квадраты имеют вид Зn+1, а сама заданная сумма имеет вид 3m+2 и, следовательно, не является точным квадратом

Пример 3: Доказать, что если два числа оба не делятся на 3, то их сумма не является точным квадратом.

Ответ: Так как квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает остаток 1, то сумма любых двух таких чисел при делении на 3 дает остаток 2, а такое число не может быть точным квадратом.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (3 голосов, рейтинг: 2,67 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>