Симметрии графиков функций
Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2a-x).
Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х).
Точка (а, b) является центром симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)+f(2а-х)=b.
Точка (а, b) является центром симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)+f(a-х)=b.
Пример 1: Сколько вертикальных осей симметрии может иметь график периодической функции?
Ответ: Если график функции f с периодом Т имеет ось симметрии х=а, то скорее всего — из геометрических соображений — осью симметрии будет и прямая х=а+Т. Но так как прямая х=с является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2с-х), то для прямой х=а+Т надо проверить выполнение равенства f(а+Т)=f(2а-а-Т), или f(a+Т)=f(aТ), a это равенство верно.
Так как периодов у периодической функции бесконечно много, то и осей симметрии бесконечно много, если, конечно, есть хотя бы одна.
Пример 2: График функции у=f(x) имеет вертикальную ось и центр симметрии. Что можно сказать о графике функции у=2f(x)-1?
Ответ: Так как график функции у=f(x) имеет вертикальную ось симметрии, например х=а, то для всякого х имеет место равенство f(a+х)=f(а-х), а тогда очевидно 2f(a+х)-1=2f(а-x)-1, так что функция у=2f(x)-1 имеет ту же ось симметрии. Если же график функции у=f(x) имеет центр симметрии, например, Q=(а, b), то для всякого х имеет место равенство f(а+х)+f(а-х)=2b, и в этом случае (2f(а+х)-1)+(2f(а-х)-1)=2b<-2, так что функция у=2f(x)-1 имеет центр симметрии в точке (а, 2b-2).
Комментарий. При рассуждении можно употреблять термины «растяжение-сжатие» и «сдвиг». Можно также пользоваться утверждением «Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2а-x)».
- Функции четные и нечетные
- Находим асимптоты до графика функции.
- Периодические функции
- Сейчас, чтобы приблизить часть графика функции, вам надо просто её выделить!
>Точка (а, b) является центром симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого x∈D(f) выполняется равенство f(x)+f(2а-х)=b
Должно быть вроде как f(x)+f(2а-х)=2b