Числа трансцендентные и алгебраические и их среднее значение

Вы почти наверняка слышали, что число не только иррационально, но и трансцендентно — это слово, очевидно, латинского происхождения означает, что не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Например, \pi^3+\pi^2 \neq 41 — иначе \pi было бы корнем уравнения x^3+x^2-41=0. Кстати, \pi^3+\pi^2=41,00627..., так что опровергнуть равенство \pi^3+\pi^2=41 вручную, без электроники, весьма непросто.Числа трансцендентные и алгебраические и их среднее значение

Заметим, что иррациональность числа также связана с уравнениями с целыми коэффициентами. Рациональные числа — это корни линейных уравнений с целыми коэффициентами: равенство a=\frac pq можно записать в виде qa=р, т.е. а — корень уравнения qx-р=0. Иными словами, понятие трансцендентного числа — это сильное обобщение понятия иррационального числа.

Знание трансцендентности числа n, а стало быть, и понимание этого факта, как вы могли убедиться выше, может оказаться полезным, а может быть, и необходимым для решения конкретных школьных задач — например, в вопросе о периодичности функции у=sin х2.

С этими числами сложно делать какие-то математические операции, в отличии от привычных нам алгебраических. Например, в математической науке и ее приложениях, а также, естественно, и во многих задачах элементарной, школьной математики в самых разных ситуациях используются средние значения, и чаще всего рассматриваются среднее арифметическое и среднее геометрическое.

Начнем с определений:

Число \frac {x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n} называется средним арифметическим чисел x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}.

Число \sqrt [n]{ x_{1}x_{2}\ldots x_{n}} для неотрицательных чисел x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} называется средним геометрическим этих чисел.

Можно показать, что для любых неотрицательных чисел их среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического, т.е. имеет место неравенство \sqrt [n]{ x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}\leq \frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}} {n} причем равенство имеет место только тогда и только тогда, когда все числа x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} равны между собой.

Это неравенство носит название неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим для любых n положительных чисел, или неравенства Коши, по имени математика Коши.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>