Алгебраический подход к изложению теории

Современные педагоги не считают возможным ставить перед предметом алгебры те же психологические трудности, что возникают у учащихся при первоначальном, но уже систематическом изучении геометрии — необходимость доказывать очевидные с точки зрения практики утверждения в угоду госпоже математике. Между тем угождение этой госпоже — это задача изучения математики в соответствующих профилях старшей школы, и ставится она перед существенно меньшим числом учащихся.Алгебраический подход к изложению теории

Алгебраические идеи представляют собой лишь базу, подоснову изложения и проявляются, как это принято в школьной алгебре, только теневым образом. Между тем в действительности опора на эти идеи существенно, хотя и не слишком заметно на первый взгляд — даже для многих учителей, меняет некоторые привычные стереотипы в изложении теории.

Так, два алгебраических выражения определяются как равные, если одно из них может быть преобразовано в другое с помощью преобразований, выполняемых в строгом соответствии с законами алгебры, тогда как при традиционном изложении они считаются равными, или тождественно равными, если равны их числовые значения при любом наборе значений входящих в них переменных.

В научной терминологии, наш подход к равенству выражений является алгебраическим, тогда как традиционное определение равенства выражений опирается на понятие функционального равенства, т.е. исходит из теории математических структур иной природы, свойственных, скорее, математическому анализу, чем алгебре. Именно поэтому соответствующие выражения и называются тождественно равными — с точки зрения обычного понимания тождества в школьной математике, в определенной степени противоречащего общефилософскому содержанию этого понятия — абсолютного совпадения двух объектов, которое позволяет в любом контексте один из них заменять другим.

В этом отношении мы проявляем, однако, разумный, на наш взгляд, консерватизм и наряду с термином равные сохраняем для соответствующих выражений и термин тождественно равные, и хотя тем самым допускаем определенную эклектику в отношении концепции алгебраического подхода, мы считаем более значимым здесь дидактический фактор — привычку учителей к «стандартному» термину.

Такая позиция имеет в действительности и строго логическое, а не только дидактическое обоснование, поскольку в множестве многочленов и рациональных дробей алгебраическое и функциональное равенства эквивалентны, и начинают различаться при появлении иррациональных алгебраических выражений, т.е., по существу, уже в профильном курсе, где выясняется, кроме того, что само понятие тождественного равенства логически корректно, однако не обладает важнейшим свойством равенства — транзитивностью, что делает традиционное его использование практически всегда ущербным с точки зрения логики. Соответствующей грубой логической ошибки, впрочем, обычно просто не замечают.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>