Теорема Жордана

Определить, где находится точка Р — внутри или снаружи некой фигуры — иногда очень просто, как например для фигуры, изображенной на рисунке:точка внутри фигуры

Однако для более сложных фигур, как, например, для той, что представлена ниже, сделать это сложнее. Для этого придется нарисовать линию карандашом.точка внутри фигуры

Однако при поиске ответов на подобные вопросы мы можем использовать один простой, но мощный инструмент. Окружность является плоской замкнутой кривой, то есть имеет внутреннюю и внешнюю части. Например, кривая на рисунке а) не является замкнутой. Кроме того, окружность является простой кривой, то есть не имеет самопересечений, подобно кривым на рисунке б).кривые

Кривые, которые удовлетворяют этим двум условиям (являются простыми и замкнутыми), называют кривыми Жордана. Все кривые Жордана топологически эквивалентны, так как их можно получить непрерывной деформацией окружности. Является точка внешней или внутренней по отношению к кривой — это топологическое свойство. Следовательно, если мы изучим это свойство для окружности, то оно будет полностью аналогичным для всех кривых Жордана вне зависимости от их сложности.

Допустим, даны две точки Р и Q. Одна из них находится внутри окружности, другая — снаружи. Мы можем соединить эти точки линиями разной формы, как показано на рисунке. Красная линия пересекает окружность один раз, зеленая — три раза, оранжевая — пять. Любая такая линия пересечет окружность нечетное число раз. Напротив, если обе точки находятся внутри окружности, легко показать, что в этом случае число пересечений всегда будет четным. окружность пересеченная линиями

Таким образом, поставленная задача решена. Допустим, дана точка Р снаружи кривой (простой и замкнутой). Мы хотим узнать, где находится другая точка — внутри кривой или снаружи. Для этого нужно соединить точку Р и искомую точку, затем подсчитать число пересечений. Если оно окажется четным, данная точка лежит снаружи кривой, если число пересечений будет нечетным — внутри кривой(рис. слева).

В приведенном примере видно, что если соединить данную точку и точку снаружи кривой, то число пересечений окажется нечетным. Это доказывает, что данная точка лежит внутри кривой.

Овладев этим приемом, можно удивить друзей простым фокусом. Попросите кого-нибудь нарисовать простую замкнутую кривую и расположить точку в любом месте этой кривой, после чего прикрыть часть рисунка (рис. справа).простая замкнутая кривая

Нетрудно заметить, что воображаемая линия, которая соединяет указанную точку и точку вне кривой, пересекает кривую пять раз. Следовательно, мы гарантированно можем утверждать, что указанная точка лежит внутри кривой.

Все описанное выше — прямое следствие так называемой теоремы Жордана, которую сформулировал французский математик Камиль Жордан (1838-1922). Он привел доказательство этой теоремы в своем знаменитом «Курсе анализа», опубликованном в 1882 году. Однако его доказательство содержало ошибки, которые сам Жордан, несмотря на все усилия, не смог исправить. Первое полное доказательство теоремы авторства О. Веблена появилось только в 1905 году, а в 1922 году Джеймс Александр доказал ее для пространств с произвольным числом измерений.

Теорема Жордана гласит:

плоская простая замкнутая кривая разбивает плоскость на две связные компоненты и является их общей границей.

Иными словами, замкнутая кривая, подобная следующей,теорема Жордана

разбивает плоскость на две части. Одна из них конечна (выделена красным), другая — бесконечна (выделена зеленым), и границей между ними является эта кривая.

Теорема Жордана обладает двумя свойствами, которые почти никогда не встречаются одновременно и тем самым делают ее уникальной: эта теорема очевидна и одновременно сложна. Она очевидна, так как любой из нас может не просто понять ее формулировку, но также интуитивно почувствовать, что теорема верна. Она сложна, поскольку ее точное доказательство занимает множество страниц, на которых теряется интуитивно понятный геометрический смысл теоремы. Также существуют короткие доказательства (одно из них занимает две строчки), но они требуют знаний топологии «высших сфер».

Конечно, если вы таких знаний ещё не имеете то можете просмотреть все вузы Москвы и выбрать максимально подходящий для вас, что бы поступить туда и получить эти необходимые знания.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 3,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>