Роль уравнений в развитии математики

Рассмотрим несколько простых уравнений, нахождение решения каждого из которых становилось важной вехой в истории математики. Уравнение вида x+1=0 не имеет решения для тех, кто не знает о существовании отрицательных чисел, так как единственным корнем уравнения является x=-1. Если же считать, что это уравнение определено на множестве целых чисел Z (положительных и отрицательных), то мы легко сможем найти решение. В данном случае x=-1. Тем не менее для древних подобные рассуждения были не столь просты.Карл Фридрих Гаусс

Например, Диофант отрицал существование отрицательных чисел, а вместе с ними и все уравнения, которые имели отрицательные корни. В культуре Древней Индии, которую можно считать очень развитой в математическом отношении, отрицательные числа впервые упоминаются лишь в 628 году. Но даже тогда они использовались только для обозначения долгов, причем с многочисленными оговорками.

Уравнение вида 2x-4=0 не представляло трудностей и решалось по методу, который мы уже объясняли: 2x=4, x=\frac42=2.

Однако уравнение 2x-1=0 не имеет решении на множестве целых чисел, так как его корень x=\frac12 не принадлежит к множеству Z.

Для решения этой задачи нужно допустить существование множества рациональных чисел Q. (Напомним, что рациональное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.) Любопытно, что дробные числа, более сложные, чем отрицательные, были известны уже в Древнем Египте, Вавилонии и Греции, где использовались без каких-либо затруднений. Неприятие отрицательных корней уравнений лежит больше на психологическом уровне, чем на понятийном. Это не должно удивлять. Любой из нас может провести небольшой эксперимент и спросить знакомых, сколько будет 4 минус 7. Вы убедитесь, что заметная часть населения не знает о существовании отрицательных чисел.

На следующем этапе развития математики началось изучение уравнений вида x^2-2=0. Перенеся двойку в правую часть уравнения, мы получим x^2=2. Для решения этого уравнения нам недостаточно четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления), которыми мы пользовались до этого. Здесь требуется извлечь корень, в данном случае квадратный, чтобы получить решение: x=\sqrt2.

Вспомним, что квадратным корнем числа называется такое число, которое при возведении в квадрат дает исходное число. Например, \sqrt4=2, так как 2^2=2\times2=4. Аналогично \sqrt{16}=4. Для решения нашего уравнения нам нужно найти число, которое при возведении в квадрат дало бы 2. Здесь происходит качественный скачок, ведь ни одно из рациональных чисел не превращается в 2, будучи возведенным в квадрат. Этот факт, обнаруженный еще учениками пифагорейской школы, привел к введению понятия иррациональных чисел, одним из которых является \sqrt2.

Рациональные числа вкупе с иррациональными составляют R — множество вещественных чисел. Уравнения, подобные приведенному выше, имеют решения на этом множестве.

Располагая огромным множеством вещественных чисел R, мы можем подумать, что на нем будет иметь решение любое уравнение. Увы, это не так: существуют уравнения, от которых долгое время математики бежали как от огня.

Простейшим из них является x^2+1=0.

Чтобы лучше понять причину подобных затруднений, сделаем небольшое отступление. Существует правило знаков, которое гласит: «минус на минус дает плюс», то есть произведение отрицательных чисел всегда будет положительным. Например, (-3) \times (-2) = 6. Следовательно, любое число при умножении на само себя никогда не даст отрицательный результат. Если исходное число положительное, например 3, его квадратом будет 9. Если оно отрицательное, то все равно (-3) \times (-3) = 9.

По этой причине утверждалось, что квадратных корней из отрицательных чисел не существует, следовательно, уравнение x^2+1=0 не имеет решений. Джероламо Кардано (1501-1576) предчувствовал, что за подобными корнями уравнений скрывается нечто важное. Затем Рафаэль Бомбелли (1526-1572) стал рассматривать их как числа и определил для них четыре основных арифметических действия. Несмотря на это, подобные решения начали признавать лишь спустя несколько столетий. Даже Декарт отрицал существование мнимых корней уравнений. Более того, он первым назвал такие числа «воображаемыми». Ньютон также не придавал им особого значения. Тем не менее корни уравнений подобного типа существуют и называются мнимыми, или комплексными. Только благодаря работам Гамильтона, Гаусса и Аргана комплексные числа стали считаться полноценными числами.

Множество С — множество комплексных чисел — включает в себя все прочие множества чисел: натуральные, целые, рациональные и вещественные. Если бы математики не относились с подозрением к «закрытым» темам, можно было бы сказать, что у этой истории счастливый конец, так как доказано, что любое уравнение с комплексными коэффициентами имеет решение на множестве С. Так утверждается в теореме, носящей пышный титул «Основная теорема алгебры ». Ее доказал в своей докторской диссертации «принц математиков» Карл Фридрих Гаусс в 1799 году, когда ему было 22 года. Теорема приобрела широкую известность в математическом мире.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>