Решение уравнений

Уравнения второй степени

Существуют ли методы решения уравнений любого типа? Краткий ответ: нет, их не существует. Подробный ответ займет несколько томов, в которых также будет излагаться история математики, так как решение уравнений было и продолжает оставаться одним из важнейших стимулов развития этой науки. Далее мы поговорим об уравнениях, известных каждому школьнику. Для их решения существует алгоритм и даже конкретная формула. Уравнение второй степени — это уравнение вида ax^2+bx+c=0.Решение уравнений

Египтянам удалось решить некоторые особые случаи подобных уравнений. Их заметно превзошли вавилоняне, которые умели решать большинство видов квадратных уравнений. Греки использовали геометрические методы. Четвертая теорема книги II евклидовых «Начал» описывает геометрический метод решения уравнений второй степени. Общий метод решения квадратных уравнений встречается в книге Михаэля Штифеля Aritm?tica integra — одном из важнейших трудов по алгебре, написанном в XVI веке. В этой книге уже используются знаки + и -,а также упоминаются корни из отрицательных чисел, хотя сам Штифель называл их абсурдными числами.

Формула, позволяющая напрямую найти решения уравнения второй степени, выглядит следующим образом: x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Знак ±, который использован в числителе, применяется для одновременной записи двух решений. Чтобы получить одно решение, мы должны сложить выражения в числителе, а для нахождения второго корня — вычислить их разность. Если мы обозначим одно решение уравнения за x_{1}, а другое за x_{2}, то получим x_{1}=\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, x_{2}=\frac{-b +\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Уравнения второй степени могут иметь два разных решения или одно решение, в этом случае говорят, что уравнение имеет кратный корень. Уравнение также может не иметь решений, если для нахождения его корней нужно вычислить квадратный корень из отрицательного числа.

Важно отметить, что в последнем случае, когда мы говорим, что уравнение не имеет решений, мы имеем в виду отсутствие вещественных корней. В действительности уравнение имеет два комплексных решения.

Уравнения и функцииграфик функции

Графическое представление функций может оказаться полезным при решении уравнений. С его помощью не всегда получится найти точные решения, но можно определить количество корней и примерный интервал, в котором они располагаются. Рассмотрим простейший случай — линейное уравнение, например х-3=0. Ему будет соответствовать функция f(х) = х - 3. Это уравнение прямой. Точка, в которой эта прямая пересекает ось X, х=3, является решением уравнения. Если мы представим уравнение графически, его решениями будут точки, в которых график пересекает ось абсцисс.

Например, если мы построим график функции f(x) =x^3+x^2+x+1,то увидим, что график пересекает ось абсцисс всего в одной точке x=-1. Это значение является решением уравнения x^3+x^2+x+1. Так как график функции не пересекает ось абсцисс в других точках, уравнение имеет единственное решение.

Уравнения второй степени и параболы

Графическое представление уравнений можно использовать при изучении уравнений второй степени. Графиком функции вида f(x)=ax^2+bx+c всегда является парабола. Ее форма будет зависеть от значений а, b и с. Знак параметра а определяет, куда направлены ветви параболы, вверх или вниз.направление ветвей параболы

Существует всего три возможных расположения параболы. Если она пересекает ось X в двух точках, это означает, что уравнение имеет два решения. Если она пересекает ось X в одной точке, то есть касается оси, в этом случае уравнение имеет один корень. Наконец, если парабола не пересекает ось X, то уравнение не имеет вещественных решений. решения

Конечно, не все эти знания пригодятся в реальной жизни, если она не будет связана с математикой.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>