Топологические трансформации

Допустим, что дана эластичная поверхность, сделанная, например, из резины или пластилина. Мы легко можем деформировать ее и нарисовать на ее поверхности, например, квадрат. Растягивая поверхность, мы можем превратить этот квадрат в круг, шестиугольник или любой другой многоугольник.непрерывные деформации

Важно, что при этих трансформациях поверхность не разрывается и никакая точка не накладывается на другую. Такие трансформации, которые выполняются без разрезов, склеивания и проделывания отверстий, то есть путем растяжения, сжатия и разглаживания, называются непрерывными. Это одно из важнейших понятий математики. Чтобы корректно определить его, ученым потребовалось много времени.

непрерывные деформацииРассмотрим три точки А, В и С, расположенные на одной из сторон квадрата, нарисованного на пластилине. Заметим, что после первой трансформации все три точки стали располагаться на окружности, сохранив начальный порядок. Это же происходит, когда квадрат преобразуется в восьмиугольник. Если бы мы сложили поверхность пополам, то исходный порядок нарушился бы, и мы смогли бы поместить точку С между А и В. Это была бы операция склеивания. Чтобы вернуться к исходному положению, нам пришлось бы разорвать пластилин или отклеить от него кусочек. Если мы начнем плавно растягивать кусок пластилина двумя руками, то начнется непрерывная деформация. Эта деформация резко перестанет быть непрерывной, когда кусок пластилина разорвется пополам. Непрерывные трансформации — это плавные трансформации, которые не приводят к необратимым, катастрофическим изменениям.

Если для некой непрерывной трансформации обратная ей также является непрерывной, то эта трансформация называется топологической. Иными словами, те же правила, что использовались при трансформации некой фигуры, будут применяться, чтобы вернуть ее в прежнее состояние. Допустим, что у нас есть кусок деформируемого материала (предположим, что это пластилин — классический пример в топологии). Вылепим шарик, положим его на стол и раскатаем в плоский диск. Очевидно, что из этого диска мы можем снова получить шарик, используя те же правила: без разрывов, склеиваний и т.д. Это означает, что обе фигуры являются топологически эквивалентными, так как существует непрерывная трансформация, преобразующая шарик в диск, такая что обратная ей трансформация также является непрерывной. Аналогично мы можем вылепить куб, пирамиду или цилиндр, и все эти фигуры будут топологически эквивалентны.

Поэтому топологию называют резиновой геометрией. Топология — это в некотором роде геометрия, но не такая, к которой мы привыкли. Расстояния, углы и даже форма фигур играют в топологии второстепенную роль. А вот наличие отверстий имеет определяющее значение. Например, тор — трехмерная фигура в форме бублика — не является топологически эквивалентным сфере. Нельзя преобразовать одну из этих фигур в другую, не нарушив правила игры. Но мы можем преобразовать бублик в чашку. Это упражнение помогает лучше понять смысл топологической трансформации.

Топологические трансформации
В шутку говорят, что тополог — это человек, который не отличает бублик от чашки с ручкой. В действительности же тополог обращает внимание на количество отверстий в обеих фигурах, так как это действительно важно с точки зрения топологии.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>