Простые конечные группы

Множество, образованное нейтральным элементом, например, единицей для операции умножения, образует группу: свойство ассоциативности выполняется автоматически, так как элемент является единственным; также множество содержит нейтральный и обратный элементы, которые совпадают между собой. Очевидно, что это наименьшая из тривиальная группавозможных групп. Эта группа не отличается какими-либо интересными свойствами, и математики называют ее «тривиальной группой», чтобы показать, что она не содержит каких-то таинственных особенностей. Наименьшая нетривиальная группа содержит всего два элемента. Таблица операции этой группы приведена справа.

Эта операция определена корректно. Свойство ассоциативности выполняется автоматически, так как элемента всего два. Нейтральным элементом является а, обратным элементом для каждого элемента является он сам. Может показаться, что эта группа не имеет практического смысла, но это не так. Если мы заменим а и b на 0 и 1, то получим таблицу сложения в двоичной системе счисления. Двоичная логика, включающая «нулевой бит» и «единичный бит», повсеместно применяется в информатике. Здесь мы не будем рассматривать этот вопрос подробно.

Эта группа чрезвычайно мала. С другой стороны, существует чрезвычайно большая группа, называемая «группа-монстр» — это наибольшая простая конечная группа из существующих. Она была построена одновременно немецким математиком Фишером и американцем Грейсом и содержит порядка 10^{54} элементов. Это число записывается как единица с 54 нулями. Точное число ее элементов равно
N=808017424794512875886459904961710757005754368000000000=2^46 \times 3^20 \times 5^9 \times 7^6 \times 11^2 \times 133 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 \times 31 \times 41 \times 47 \times 59 \times 71.

Таблица, задающая операцию этой группы, имеет 10^{108} элементов. Для построения этой таблицы будет недостаточно всей Вселенной, которая хоть и бесконечна, но для элементов этой таблицы в ней не хватит протонов и нейтронов, ведь их во всей Вселенной насчитывается 10^{79}.

Вышеописанная группа-монстр – это простая конечная группа. Однако мы не знаем, что значит «простая» применительно к группам. Термин «простая» очень важен, но достаточно сложен, чтобы подробно описать его здесь. Постараемся дать общее представление о том, что он означает.

Простые конечные группы — это группы, которые нельзя разделить на меньшие. Говоря математическим языком, они не содержат нормальных подгрупп. Они подобны наименьшим возможным элементам, из которых можно составить все остальные группы. Их часто сравнивают с элементарными частицами в физике, и не только потому, что из элементарных частиц состоит вся известная материя, но и потому, что изучение простых групп и элементарных частиц происходило похожим образом. Подобно тому, как существование некоторых частиц сначала было предсказано на бумаге и только потом они были обнаружены экспериментально, так и существование элементарных групп и их свойства были определены задолго до того, как удалось найти первую подобную группу.

Математики занимались решением задачи о классификации всех возможных простых конечных групп в 1950-1980-е годы. Она легла в основу так называемой «теоремы о классификации простых конечных групп». Доказательство этой теоремы все еще уточняется. Итоговая работа, состоящая из нескольких тысяч страниц, все еще редактируется, однако ведутся разговоры о публикации нового менее объемного доказательства.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>